PředmětyPředměty(verze: 845)
Předmět, akademický rok 2018/2019
   Přihlásit přes CAS
Fraktály a chaotická dynamika - NMNV361
Anglický název: Fractals and Chaotic Dynamics
Zajišťuje: Katedra numerické matematiky (32-KNM)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2018 do 2018
Semestr: zimní
E-Kredity: 3
Rozsah, examinace: zimní s.:2/0 Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština, angličtina
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D.
Třída: M Bc. MMIB
M Bc. MMIB > Doporučené volitelné
M Bc. OM
M Bc. OM > Doporučené volitelné
M Mgr. NVM
M Mgr. NVM > Volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Numerická analýza
Anotace -
Poslední úprava: RNDr. Miloslav Vlasák, Ph.D. (10.05.2018)
Předmět představuje úvod do fraktální geometrie a teorie chaosu. Zkonstruujeme nejznámější druhy fraktálů a odvodíme jejich základní vlastnosti. Klíčovým nástrojem zde bude pojem iterace. Soustředíme se na iterované funkční systémy (např. Barnsleyho kapradina), iterace reálných funkcí (Feigenbaumova univerzalita) a iterace komplexních funkcí (Mandelbrotova a Juliovy množiny). Předmět je přístupný širšímu okruhu zájemců jak z matematiky, tak i fyziky a informatiky.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (12.05.2018)

Zkouška je ústní. Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.

Literatura
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (12.05.2018)

Devaney, R.L.: An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.

Barnsley, M. F.: Fractals everywhere, Boston: Academic Press Professional, 1993.

Beardon, A.F.: Iteration of rational functions, Graduate Texts in Mathematics vol. 132, Springer, 1991.

Sylabus -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (27.11.2018)

Fraktální geometrie: Soběpodobnost, základní konstrukce, příklady z přírody. Hausdorffova dimenze.

Iterované funkční systémy: Afinně soběpodobné množiny, systémy kontrakcí. Existence atraktoru, kolážová věta. Algoritmy na generování atraktoru, 'chaos game'. Vlastnosti atraktoru.

Iterace reálných funkcí: Bifurkační kaskáda a diagram. Li-Yorkeova věta, Šarkovského věta. Kvadratický (unimodální) případ - definice chaosu, existence chaotických zobrazení.

Iterace komplexních funkcí: Kvadratické funkce, Bernoulliho posun, tranzitivita, citlivost na počáteční podmínky. Juliovy a Fatouovy množiny. Příklady geometrie Juliových množin, základní dichotomie, Douady-Hubbardův potenciál, externí paprsky, petaly. Mandelbrotova množina, základní vlastnosti, potenciál, základy kombinatoriky Mandelbrotovy množiny. Iterace racionálních funkcí, holomorfní dynamika.

Vstupní požadavky -
Poslední úprava: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (12.05.2018)

Základní všeobecné znalosti z matematické analýzy a lineární algebry.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK