Numerická analýza nelineárních parciálních diferenciálních rovnic - NMMO538

• Anglický název: Numerical analysis of nonlinear partial differential equations
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025
• Semestr: letní
• E-Kredity: 5
• Rozsah, examinace: letní s.:2/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: https://karlin.mff.cuni.cz/~gazca/teaching_content/ss26-nonlinearpde/
• Garant: Pablo Alexei Gazca Orozco, Ph.D.
• Vyučující: Pablo Alexei Gazca Orozco, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MOD > Volitelné; M Mgr. NVM > Volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Matematika, Numerická analýza

Anotace

čeština

Volitelný předmět vhodný zejména pro studenty magisterských programů „Matematické modelování ve fyzice a technice“ a „Numerická a výpočtová matematika“. Cílem tohoto kurzu je představit některé nástroje a techniky, které se používají při numerické analýze nelineárních PDE a variačních problémů. Po připomenutí některých základů analýzy PDE a metody konečných prvků probereme v první části kurzu některé obecné principy diskretizace nelineárních PDE. Následně se zaměříme na numerickou analýzu několika klasických nelineárních problémů.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

Elective course suitable especially for students of the Master's programmes “Mathematical Modelling in Physics and Technology” and “Numerical and Computational Mathematics”. The aim of this course is to showcase some of the tools and techniques that are employed in the numerical analysis of nonlinear PDE and variational problems. After recalling some basics of the analysis of PDE and the finite element method, in the first section of the course we will discuss some general discretisation principles for nonlinear PDE. Subsequently, we turn to the numerical analysis of a few archetypical no

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Studenti by měli získat alespoň 50% bodů v úlohách, aby se mohli zúčastnit závěrečného projektu. Pro závěrečný projekt si studenti musí zvolit nelineární parciální diferenciální rovnici (bude jim poskytnut vhodný seznam), provést diskretizaci pro aproximaci řešení, napsat 2–3 strany popisující úlohu a provést 15 minutovou prezentaci. Úlohy a závěrečný projekt budou přispívat k konečnému hodnocení 50%.

Poslední úprava: Gazca Orozco Pablo Alexei, Ph.D. (12.02.2026)

angličtina

The students should obtain at least 50% of the points in the problem sheets to have the right to take part in the final project. For the final project, the students must choose a nonlinear PDE (a suitable list will be provided), implement a discretisation to approximate the solution, write down 2-3 pages describing the problem, and do a 15 minute presentation. The problem sheets and final project will contribute each 50% to the final grade.

Poslední úprava: Gazca Orozco Pablo Alexei, Ph.D. (12.02.2026)

Literatura

čeština

Bartels, S., Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations,

Springer Series in Computational Mathematics 47, 2015.

Během přednášky budou poskytnuty doplňkové materiály.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

Bartels, S., Numerical Methods for Nonlinear Partial Differential Equations,

Springer Series in Computational Mathematics 47, 2015.

Supplementary material will be provided during the lecture.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

Sylabus

čeština

1. Ǔvod do matematické analýzy PDE.

1.1 Sobolevovy prostory

1.2 Variační úlohy a přímá metoda

1.3 Gradientní toky

2. Úvod do metody konečných prvků

2.1 Interpolace metodou konečných prvků

2.2 Lineární Poissonova rovnice

2.3 Lineární rovnice tepla

3. Důkaz konvergence numerické diskretizace

3.1 Slabá konvergence, monotónní operátory

3.2 Gama konvergence

3.3 Odhady chyb pro silně konvexní úlohy

4. Aplikace na nelineární problémy (na výběr)

3.1 P-Laplacián

3.2 Problém s překážkou

3.3 Odšum s celkovou variací

3.4 Problémy ohýbání desek

3.5 Allenova-Cahnova rovnice

3.6 Harmonická zobrazení

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

1. Compactness methods for elliptic and parabolic PDE

1.1 Strongly monotone and Lipschitz problems: Convergence of Galerkin discretisations to minimal regularity solutions.

1.2 Quasilinear PDE: Nonlinearities induced by a maximal monotone graph.

2. Error estimates via convex duality

2.1 (Quick) Recap of convex duality: Fenchel duality and the concept of a dual problem.

2.2 Basics of a posteriori error estimation: Deriving error identities from duality principles.

2.3 Applications: The p-Laplacian, the obstacle problem, etc.

2.4 A priori error estimates via duality: Applying duality at the discrete level using the Crouzeix–Raviart and Raviart–Thomas finite elements.

3. Nonlinear solvers

3.1 Relaxed Kačanov iterations for the p-Laplacian.

3.2 Non-smooth problems I: The augmented Lagrangian method (or ADMM) for viscoplastic flow.

3.3 Non-smooth problems II: The proximal Galerkin method for the obstacle problem.

4. Other interesting PDE (if time allows)

4.1 Total variation denoising

4.2 Plate bending problems

4.3 The Allen-Cahn equation

4.4 Harmonic maps

Poslední úprava: Gazca Orozco Pablo Alexei, Ph.D. (12.02.2026)

Vstupní požadavky

čeština

Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic, základy metody konečných prvků v rozsahu předmětů

Metoda konečných prvků 1 - NMNV405 a Parciální diferenciální rovnice 1 - NMMA405.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)

angličtina

Fundamentals of the theory of partial differential equations, fundamentals of the finite element method in

the scope of the courses Finite Element Method 1 - NMNV405 and Partial Differential Equations 1 -

NMMA405.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (22.05.2025)