PředmětyPředměty(verze: 861)
Předmět, akademický rok 2019/2020
  
Obecná topologie 1 - NMMA345
Anglický název: General Topology 1
Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2019 do 2019
Semestr: zimní
E-Kredity: 6
Rozsah, examinace: zimní s.:3/1 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: nevyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D.
Třída: M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření MA
M Bc. OM > Povinně volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Topologie a kategorie
Neslučitelnost : NMAT039, NMMA335
Záměnnost : NMAT039, NMMA335
Anotace -
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (04.06.2019)
Základní kurs obecné topologie pro bakalářský obor Obecná matematika. Doporučeno pro zaměření Matematická analýza.
Podmínky zakončení předmětu
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (04.06.2019)

Konání zkoušky je podmíněno získáním zápočtu. Zkouška je ústní a její obsah odpovídá sylabu tohoto předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.

Zápočet je udělen na základě aktivní účasti na cvičení s nejvýše třemi neomluvenými absencemi.

Povaha tohoto požadavku vylučuje opakování kontroly studia.

Literatura
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (04.06.2019)

R. Engelking, General Topology, PWN Warszawa 1977

J. L. Kelley, General Topology, D. Van Nostrand, New York 1957

J. Dugundji, Topology, Boston 1966 (1978)

J. I. Nagata, Modern General Topology, North-Holland 1985 (1968, 1975)

E. Čech, Topological Spaces, Academia, Praha 1966

Sylabus -
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (04.06.2019)
1. Pojem topologického prostoru

Otevřené a uzavřené množiny; vnitřek a uzávěr; systémy okolí; báze topologie, báze okolí bodů; spočetná váha a spočetný charakter, separabilita; konvergence posloupností a netů (*filtrů) a Hausdorffovy prostory (*T_0-, T_1-prostory); spojitá zobrazení; příklady metrizovatelných a nemetrizovatelných prostorů.

2. Operace s topologickými prostory

Podprostor, suma, kvocient (faktorprostor), součin; projektivní a injektivní vytváření (slabé a silné topologie); zachovávání vlastností; spočetný součin metrizovatelných (úplně metrizovatelných, kompaktních metrizovatelných) prostorů, Hilbertova krychle.

3. Úplně regulární prostory - vnoření do součinu intervalů

Lemma o vnoření (diagonálním součinu); pojem úplné regularity a jeho zachovávání na podprostory a součiny; vnoření do Tichonovovy krychle (do součinu intervalů); vnoření separabilního metrizovatelného prostoru do Hilbertovy krychle (*metrizovatelnost T_3-prostorů se spočetnou bází).

4. Normální prostory - rozšiřování reálných funkcí

Pojem normálního prostoru a příklad metrizovatelných prostorů; *protipříklady na zachovávání na podprostor a součin; Urysohnovo lemma; Tietze-Urysohnova věta o rozšiřování; úplná regularita T_4-prostorů.

5. Pojem kompaktního a Lindelofova prostoru

Pokrývací definice; charakterizace pomocí netů (*filtrů, ultrafiltrů, ultranetů); zachovávání při spojitém zobrazení; o dědičnosti na podprostory; spočetná a sekvenciální kompaktnost; příklad metrizovatelných prostorů; nabývání extrému a omezenost reálné funkce; normalita Lindelofových prostorů; *součin Lindelofových prostorů, který není Lindelofův.

6. Prostory spojitých funkcí na kompaktu

Prostor C(K); pojmy algebry a svazu spojitých funkcí; Stone-Weierstrassova věta; důsledky.

7. Tichonovova věta a Čech-Stoneova kompaktifikace, rozšiřování zobrazení

Důkaz věty o kompaktnosti součinu; kompaktnost Tichonovovy krychle; pojem kompaktifikace; Čech-Stoneova kompaktifikace; rozšiřování spojitých zobrazení, *ultrafiltry a beta-obal N.

8. Čechovská úplnost a Baireova věta

Topologická úplnost metrizovatelných prostorů; zúplnění metrizovatelného prostoru; čechovská úplnost; příklady lokálně kompaktních a úplně metrizovatelných prostorů; Baireova věta, *uniformní prostor a jeho úplnost.

9. Topologické grupy

Pojem topologické grupy; uniformita na ní; úplná regularita.

Vstupní požadavky
Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (04.06.2019)

Znalost základů teorie metrických prostorů.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK