Teorie míry a integrálu - NMMA203

• Anglický název: Measure and Integration Theory
• Zajišťuje: Katedra matematické analýzy (32-KMA)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2020
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 8
• Rozsah, examinace: zimní s.:4/2, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: nevyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Třída: M Bc. MMIB; M Bc. MMIB > Povinné; M Bc. MMIB > 2. ročník; M Bc. OM; M Bc. OM > Povinné; M Bc. OM > 2. ročník
• Kategorizace předmětu: Matematika > Reálná a komplexní analýza
• Neslučitelnost : {Stará Teorie míry a integrálu I a II}
• Prerekvizity : {Aspoň jedna analýza 1. roč.}
• Záměnnost : {Stará Teorie míry a integrálu I a II}, NMMA205
• Je neslučitelnost pro: NMMA903, NMMA205
• Je záměnnost pro: NMMA205, NMMA903, NMAA070, NMAA069
• Ve slož. prerekvizitě: NMMA331

Anotace

čeština

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

Základní přednáška z teorie míry a integrálu. Povinný předmět pro bakalářské obory OM a MMIB.

angličtina

Poslední úprava: G_M (16.05.2012)

Introductory course on measure theory and integration. Required course for bachelor's programs General Mathematics and Information Security.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Teorie míry a abstraktního Lebesgueova integrálu jako základ pro další studium moderní matematické analýzy a teorie pravděpodobnosti.

angličtina

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

Abstract integration and measure theory as a basis for the study of modern mathematical analysis and probability theory.

Podmínky zakončení předmětu

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (03.10.2019)

Zápočet: Pro získání zápočtu je potřeba

• účast na alespoň 7 cvičeních

• úspěšné napsání zápočtových písemek - v rámci cvičení se budou psát 2 zápočtové písemky, každá za 10 bodů. Úspěšné napsání znamená, že student získá dohromady 12 a více bodů.

• chybějící body je možné nahradit další prací podle pokynů cvičícího.

Charakter zápočtu neumožňuje jeho opakování.

Zkouška: podmínkou připuštění ke zkoušce je udělený zápočet. Zkouška má část písemnou a ústní, k ústní části lze postoupit po splnění části písemné.

U ústní zkoušky je třeba znát odpřednesenou látku včetně důkazů a ilustrativních příkladů.

Literatura

Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (07.11.2018)

W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, Praha, 2003

J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

J. Kopáček: Matematická analýza pro fyziky III, skripta MFF

J. Lukeš: Příklady z matematické analýzy I. Příklady k teorii Lebesgueova integrálu, skripta MFF

I. Netuka, J. Veselý: Příklady z matematické analýzy. Míra a integrál, skripta MFF

Metody výuky

čeština

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

přednáška a cvičení

angličtina

Poslední úprava: G_M (27.04.2012)

lecture and exercises

Požadavky ke zkoušce

Poslední úprava: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (03.10.2019)

Zkouška sestává z písemné a ústní části. Písemné část předchází části ústní a její nesplnění znamená, že celá zkouška je hodnocena známkou nevyhověl(a) a ústní částí se již nepokračuje. Po úspěšném složení písemné části následuje část ústní. Nesložení ústní části znamená, že při příštím termínu je nutno opakovat obě části zkoušky, písemnou i ústní. Známka ze zkoušky se stanoví na základě hodnocení písemné i ústní části.

Písemná část sestává z tří příkladů ověřujících početní dovednosti procvičované na cvičení.

Požadavky u ústní části zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (05.11.2013)

1. Základní pojmy teorie míry

a) Množinové systémy, pojem míry

b) Měřitelné funkce

2. Konstrukce integrálu

a) Definice integrálu z míry

b) Leviho věta

c) Linearita integrálu

3. Konstrukce míry

a) Abstraktní vnější míra

b) Carathéodoryho věta

c) Konstrukce Lebesgueovy míry

4. Teorie integrálu

a) Souvislost s Newtonovým integrálem

b) Záměna limity a integrálu, řady a integrálu

c) Integrál závislý na parametru

5. Teorie míry

a) Dynkinovy systémy a jednoznačnost

b) Rozšiřování pramíry, Hopfova věta

c) Znaménkové míry

d) Lebesgueův rozklad a Radon-Nikodýmova věta

e) Konvergence s.v., podle míry, Jegorovova věta

f) Měřitelná zobrazení a obraz míry

6. Vícerozměrná integrace

a) Součin měr a Fubiniova věta

b) Věta o substituci

c) Polární a sférické souřadnice

7. L^p prostory

a) Základní definice, rozdělení funkcí na třídy ekvivalence

b) Hölderova a Minkowského nerovnost

c) Úplnost

8. Lebesgue-Stieltjesův integrál

a) Regularita měr

b) Lebesgue-Stieltjesovy míry a distribuční funkce

c) Per partes pro LS integrál

d) Absolutně spojitý a diskrétní případ

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (05.11.2013)

1. Basic notions of measure theory.

a) Sigma-albegra and related structures, measure

b) Measurable functions

2. Construction of the integral

a) Integral on a measure space

b) Monotone convergence theorem

c) Linearity of the integral

3. Constructions of measures

a) Abstract outer measure

b) Carathéodory theorem

c) Construction of the Lebesgue measure

4. Lebesgue integral

a) Lebesgue integral on the real line

b) Convergence theorems

c) Integrals depending on a parameter

5. Measure theory

a) Dynkin systems, uniqueness results

b) Premeasures, the Hopf theorem

c) Signed measures

d) Lebesgue decomposition and Radon-Nikodým theorem

e) Sequences of measurable functions, Jegorov theorem

f) Measurable mappings and push-forward of a measure

6. Multiple integrals

a) Product of measures, the Fubini theorem

b) Change of variables

c) Polar and spherical coordinates

7. L^p spaces

a) Basic definitions, equivalence classes

b) Hölder and Minkowski inequalities

c) Completeness

8. Lebesgue-Stieltjes integral

a) Regularity of measures

b) Lebesgue-Stieltjes measures and distribution functions

c) Integration by parts

d) Absolutely continuous and discrete cases

Vstupní požadavky

čeština

Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (10.05.2018)

Znalosti matematické analýzy na úrovni přednášek NMMA101, NMMA102

angličtina

Poslední úprava: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. (10.05.2018)

Knowledge of mathematical analysis at the level of courses NMMA101, NMMA102