Homotopy approach to deformation quantization - NMAG599

• Anglický název: Homotopy approach to deformation quantization
• Podoba výuky: přednáška
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2025 do 2025
• Počet semestrů výuky: 1
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Maximální kapacita předmětu: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: angličtina
• Forma uskutečňování: prezenční
• Možnost opakovaného zápisu: 2 / 2 / 2 / 2
• Garant: Thomas Weber, Ph.D.
• Vyučující: Thomas Weber, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR > Volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie, Matematika

Anotace

čeština

V tomto čtecím kurzu budeme používat homotopické metody jako například L_\infty and G_\infty struktury ke kvantování geometrických struktur, mj. Poissonových bivektorů a r-matic. Hlavním cílem je získat vhled do slavné Kontsevichovy Věty o formalitě a návazných prací Dolgusheva and Tamarkina o deformačním kvantování. Dále budeme studovat kvantování dynamických r-matic pomocí Drinfel'dových asociátorů dle prací Calaqua.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (19.05.2025)

angličtina

In this reading course we use methods of homotopy theory, such as L_\infty and G_\infty structures, to quantize geometric structures, such as Poisson bivectors and r-matrices. Our main goal is to obtain insights into the celebrated formality theorem of Kontsevich, together with related works of Dolgushev and Tamarkin on deformation quantization. We further study the quantization of dynamical r-matrices via Drinfel'd associators, following the work of Calaque.

Poslední úprava: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (19.05.2025)

Cíl předmětu

The goal is to get familiar with the deformation problem arising from Poisson geometry, where Poisson bivectors constitute the semi-classical limit of star products. As a preparation, the necessary amount of differential geometry will be studied, specifically the Cartan calculus on smooth manifolds. The solution of the deformation problem, given by Kontsevich's formality theorem, further requires the notions of homotopy Lie algebra and the corresponding quasi-isomorphisms. On the algebraic side, the deformation theory of Gerstenhaber will give the formal background to understand the deformations of associative algebras from a general point of view. Globalization methods, in the sense of Dolgushev and Cattaneo-Felder, might be considered, as well.

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (25.09.2025)

Podmínky zakončení předmětu

The participants are expected to study a subject related to the direction of the course and present it in the second half of the semester. This can also be done in joint work with other participants. For interested students there might be the possibility to continue the course project in form of a master thesis.

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (25.09.2025)

Literatura

C. Esposito: Formality theory: from Poisson structures to deformation quantization, Springer-Verlag Heidelberg, Berlin, New York (2015)

J. Schnitzer: Poisson Geometry and Deformation Quantization, Lecture Notes https://mate.unipv.it/schnitzer/ (2023)

S. Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer-Verlag Heidelberg, Berlin, New York (2007)

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (25.09.2025)

Metody výuky

Reading course, where the first lessons will be delivered by the lecturer and participants are supposed to contribute with short presentations in the second half of the semester. The course will also be streamed via Teams. Recordings, as well as lecture notes, will be made available on Teams and via email.

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (25.09.2025)

Sylabus

1) Smooth manifolds and Cartan calculus

2) Poisson manifolds

3) Lie groups and actions

4) Differential operators

5) Star products and deformation quantization

6) Gerstenhaber deformation theory

7) Fedosov and Kontsevich quantization

8) Globalization procedures

Poslední úprava: Weber Thomas, Ph.D. (25.09.2025)