Předměty

Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související analýzu parciálních diferenciálních rovnic v R^n pro jiné než translační abelovskou grupu R^n. Druhá část přednášky.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Harmonic analysis generalizes the classical Fourier analysis of partial differential equations in R^n for other groups than the abelian R^n. Second part of lecture.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Naučit základy nekomutativní harmonické analýzy.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Study of non-commutative analysis.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Znalost definic a vět a jejich schopnost je aplikovat v přehledných

situacích. Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zápočet je udělen za

aktivní účast na cvičeních, kde se dokazují snadná tvrzení nebo

počítají příklady z harmonické analýzy. Zápočet není podmínkou pro získání zkoušky.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (11.06.2023)

We test the knowledge of definitions, theorems, and their application.

The exam is oral with a written preparation.

Credit is given for active participation, proving easy theorems or computing examples. Credit is not necessary for entering the exam.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (02.07.2024)

Goodman, R., Walach, N., Invariants and Representations of Classical Groups, Oxford

Knapp, A., Representation theory of semi-simple Lie groups: An overview based on examples, Princeton

Kirillov, A., Representation theory and Noncommutative Harmonic Analysis I, II, Springer

Dixmier, J., Envelopping Algebras, AMS

Sepanski, M., Compact Lie groups, Springer

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2019)

Goodman, R., Walach, N., Invariants and Representations of Classical Groups, Oxford

Knapp, A., Representation theory of semi-simple Lie groups: An overview based on examples, Princeton

Kirillov, A., Representation theory and Noncommutative Harmonic Analysis I, II, Springer

Dixmier, J., Envelopping Algebras, AMS

Sepanski, M., Compact Lie groups, Springer

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2019)

Přednáška a cvičení

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Lecture and exercise.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Zkouší se definice a věty a jejich aplikace v přehledných situacích.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2019)

We test definitions and theorems and its application in clearly arranged situations.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2019)

1) Univerzální obalující algebra Lieovy algebry.

Věta Poincarého--Birkhoffa--Witta. Filtrace a gradace algeber. Noetherovskost univerzálních obalujících algeber.

2) Vermovy moduly.

Sručné opakování teorie reprezentací jednoduchych Lieových algeber: Cartanova podalgebra, Killingova forma, kořeny, kokořeny, pozitivní a jednoduché kořeny, Weylova grupa a Bruhatovo uspořádání, váhy a polomříž (diskrétní pologrupa) celočíselných nezáporných vah. Vermovy moduly - definice, diagonalizovatelnost vůči Cartanově podalgebře, podmínky pro ireducibilitu. Ireducibilní konečně rozměrné reprezentace jako kvocientů Vermovych modulu. Citace věty Bernsteina--Gelfanda--Gelfanda o vztahu homomorfizmů Vermových modulů a Bruhatova uspořádání na Weylově grupě.

3) Věta (Botta--)Borela--Weila (také popis řešení Laplaceovy rovnice na homogenních prostorech pro jednoduché nebo polojednduché Lieovy grupy).

Lokálně triviální fíbrace - vektorové, hlavní a asociované. Holomorfní variety a holomorfní fíbrace. Vlajkové veriety: borelovská a kompaktní prezentace, příklady - sféry, projektivní prostory a grassmanniány, zejména Gr_2(4,C). Některé výsledky strukturální teorie jednoduchých Lieových algeber. Holomorfní sekce asociovaných bandlů nad vlajkovými varietami. Formulace (Bottovy--)Borelovy--Weilovy věty a její důkaz pro případ komplexního projektivního prostoru dimenze 1, tj. sféry.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (23.02.2025)

1) Universal enveloping algebra of a Lie algebra.

Theorem of Poincaré--Birkhoff--Witt. Filtration, associated gradation, and the Noether feature of universal enveloping algebras

2) Verma modules.

Recall of representation theory of simple Lie algebras: Cartan subalgebra, roots, co-roots, positive and simple roots, fundamental weights, Weyl group and Bruhat ordering. Weights of representations of semi-simple Lie groups, semi-lattice (discrete semigroup) of non-negative integral weights. Verma modules: definition, weight/simplicity property, irreducibility characterization. Description of irreducible and finite-dimensional simple Lie algebra modules. Citation of Bernstein--Gelfand--Gelfand theorem on a connection of homomorphisms of Verma modules and Bruhat ordering.

3) Theorem of (Bott--)Borel--Weil (alo solutions of Laplace equation on complex flag manifolds).

Locally trivial smooth fibrations: vector, principal and associated fibrations. Holomorphic manifolds and fibrations. Flag manifolds: Borel and compact presentation of flag manifolds - spheres, projective spaces, Grassmannians, especially Gr_2(4, C). Some results of the structure of semi-simple Lie groups. Holomorphic sections of associated bundles on flag manifolds. Formulation of the (Bott--)Borel--Weil theorem and its proof for the complex projective line, the Riemannian sphere.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (23.02.2025)