Nekomutativní harmonická analýza - NMAG534

• Anglický název: Non-commutative harmonic analysis
• Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2024
• Semestr: letní
• E-Kredity: 6
• Rozsah, examinace: letní s.:3/1, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Vyučující: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Třída: M Mgr. MSTR; M Mgr. MSTR > Povinně volitelné
• Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra, Geometrie, Reálná a komplexní analýza

Anotace

čeština

Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související analýzu parciálních diferenciálních rovnic v R^n pro jiné než translační abelovskou grupu R^n. Druhá část přednášky.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

angličtina

Harmonic analysis generalizes the classical Fourier analysis of partial differential equations in R^n for other groups than the abelian R^n. Second part of lecture.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Cíl předmětu

čeština

Naučit základy nekomutativní harmonické analýzy.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

angličtina

Study of non-commutative analysis.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Znalost definic a vět a jejich schopnost je aplikovat v přehledných

situacích. Zkouška je ústní s písemnou přípravou. Zápočet je udělen za

aktivní účast na cvičeních, kde se dokazují snadná tvrzení nebo

počítají příklady z harmonické analýzy. Zápočet není podmínkou pro získání zkoušky.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (11.06.2023)

angličtina

We test the knowledge of definitions, theorems, and their application.

The exam is oral with a written preparation.

Credit is given for active participation, proving easy theorems or computing examples. Credit is not necessary for entering the exam.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (02.07.2024)

Literatura

čeština

Goodman, R., Walach, N., Invariants and Representations of Classical Groups, Oxford

Knapp, A., Representation theory of semi-simple Lie groups: An overview based on examples, Princeton

Kirillov, A., Representation theory and Noncommutative Harmonic Analysis I, II, Springer

Dixmier, J., Envelopping Algebras, AMS

Sepanski, M., Compact Lie groups, Springer

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2019)

Metody výuky

čeština

Přednáška a cvičení

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

angličtina

Lecture and exercise.

Poslední úprava: T_MUUK (13.05.2015)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouší se definice a věty a jejich aplikace v přehledných situacích.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2019)

angličtina

We test definitions and theorems and its application in clearly arranged situations.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (22.02.2019)

Sylabus

čeština

1) Univerzální obalující algebra Lieovy algebry

Věta Poincarého--Birkhoffa--Witta. Filtrace a gradace algeber. Noetherovskost univerzalních obalujících algeber.

2) Vermovy moduly

Opakování teorie reprezentací jednoduchych Lieových algeber: Cartanova podalgebra, Killingova forma, kořeny, kokořeny, pozitivní a jednoduché kořeny, Weylova grupa a Bruhatovo uspořádání, váhy a polomříž (dsikrétní pologrupa) celočíselných nezáporných vah. Vermovy moduly - definice, diagonalizovatelnost vůči Cartanově podalgebře, podmínky pro ireducibilitu. Ireducibilní konečně rozměrné reprezentací pomocí kvocientů Vermovych modulu. Citace věty Bernsteina--Gelfanda--Gelfanda o vztahu homomorfizmů Vermových modulů a Bruhatova uspořádání na Weylově grupě.

3) Věta Borela--Weila (popis řešení Laplaceovy rovnice na homogenních prostorech pro jednoduché nebo polojednduché Lieovy grupy)

(Lokálně triviální) fíbrace - vektorové, hlavní a asociované fíbrace. Holomorfní variety a holomorfní fíbrace. Vlajkové veriety: borelovská a kompaktní prezentace, příklady - sféry, projektivní prostory a grassmanniány, zejména Gr_2(4,C). Některé výsledky strukturní teorie a reprezentací jednoduchých Lieových algeber. Holomorfní sekce asociovaných bandlů nad vlajkovými varietami. Formulace Borelovy--Weilovy věty a její důkaz pro případ komplexního projektivního prostoru dimenze 1.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (02.07.2024)

angličtina

1) Universal enveloping algebra of a Lie algebra

Theorem of Poincaré--Birkhoff--Witt. Filtration, associated gradation, and the Noether feature of universal enveloping algebras

2) Verma modules

Recall of representation theory of simple Lie algebras: Cartan subalgebra, roots, co-roots, positive and simple roots, fundamental weights, Weyl group and Bruhat ordering.

Weights of representations of semi-simple Lie groups, semi-lattice (discrete semigroup) of non-negative weights. Verma modules: definition, weight/simplicity property, irreducibility characterization. Description of irreducible and finite-dimensional simple Lie algebra modules. Citation of Bernstein--Gelfand--Gelfand theorem on a connection of homomorphisms of Verma modules and Bruhat ordering.

3) Theorem of Borel--Weil (solutions of Laplace equation on complex flag manifolds)

Smooth (locally trivial) fibrations: vector, principal and associated fibrations. Holomorphic manifolds and fibrations. Flag manifolds: Borel and compact presentation of flag manifolds - spheres, projective spaces, Grassmannians, especially Gr_2(4, C). Some results of the structure and representation theory of semi-simple Lie groups. Holomorphic sections of associated bundles on flag manifolds. Formulation of the Borel--Weil theorem and its proof for the complex projective line.

Poslední úprava: Krýsl Svatopluk, doc. RNDr., Ph.D. (02.07.2024)