PředmětyPředměty(verze: 849)
Předmět, akademický rok 2019/2020
   Přihlásit přes CAS
Riemannova geometrie 1 - NMAG411
Anglický název: Riemannian Geometry 1
Zajišťuje: Matematický ústav UK (32-MUUK)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2019 do 2019
Semestr: zimní
E-Kredity: 5
Rozsah, examinace: zimní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: angličtina
Způsob výuky: prezenční
Další informace: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~krysl/cviceni.htm
Garant: Roman Golovko, Ph.D.
Třída: M Mgr. MSTR
M Mgr. MSTR > Povinné
Kategorizace předmětu: Matematika > Geometrie
Je prerekvizitou pro: NMAG566
Anotace -
Poslední úprava: prof. RNDr. Oldřich Kowalski, DrSc. (10.09.2013)
Cílem předmětu je seznámit studenty s jednou ze základních technik matematické fyziky, totiž se základy pseudo-Riemannovy geometrie..
Cíl předmětu -
Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Cílem předmětu je seznámit studenty s jednou se základních struktur diferenciální geometrie, a sice hladkou varietou s Riemannovým metrickým tenzorem a jeho konexí.

Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Bude zadáno několik domácích úkolů. Podmínkou k zápočtu je odevzdání alespoň jednoho správného řešení.

Zkouška má ústní formu.

Literatura -
Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

1) O. Kowalski, Základy Riemannovy geometrie, skripta, 2. vydání, vydavatelství Karolinum, 2001.

2) P. do Carmo, Riemannian Geometry 1, Birkhaeuser.

3) M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1 - 2., Publish or Perish Inc..

4) P. Petersen, Riemannian Geometry, Springer, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 171, 2nd Edition, 2006.

5) W. Curtis, F. Miller, Differential Manifolds & Theoretical Physics, Pure and Applied Math.

6) S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential geometry I, II, Interscience Publishers 1963, 1969.

7) S. Helgason, Differencial´naja geometrija i simmetričeskije prostranstva (překlad z angličtiny), Izd. MIR, Moskva 1964 (Kapitola 1).

8) S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, Academic press, 1978.

9) R. L. Bishop, R. J. Crittenden, Geometry of Manifolds, AMS Chelsea Publishing, 2001.

Metody výuky -
Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Metodou výuky jsou standardní přednáška a cvičení. Studium může být i individuální.

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

K ústní části zkoušky je nutné znát celou odpřednášenou látku.

Zkouší se definice, věty a jejich důkazy. Pro prověření porozumění obsahu přednášky

budete rovněž vyzváni k důkazu snadného tvrzení (písemná příprava).

Sylabus -
Poslední úprava: prof. RNDr. Oldřich Kowalski, DrSc. (10.09.2013)

Základní pojmy z množinové topologie. Topologické a diferencovatelné variety, zobrazení variet. Podvariety v euklidovském prostoru. Tečné prostory, tečné zobrazení, vektorová pole, Lieova závorka vektorových polí. Afinní konexe na varietě jako operace derivování na vektorových polích. Levi-Civitova konexe na podvarietě v . Paralelní přenos podél křivek a geodetické křivky -- definice a existenční věty. Exponenciální zobrazení v bodě. Tenzorová pole torze a křivosti afinní konexe, jejich geometrický význam. Riemannova (pseudo-Riemannova) metrika, indukovaná struktura metrického prostoru. Riemannova konexe -- existence a jednoznačnost, souvislost s~Levi-Civitovou konexí (na podvarietě v s indukovanou metrikou). Gaussova formule a její geometrická interpretace pro plochy -- Gaussova věta. Gaussova křivost plochy. Sekcionální křivost Riemannovy variety, prostory s konstantní křivostí. Extremální vlastnosti geodetik. Globální vlastnosti geodetik na úplné Riemannově varietě.

Vstupní požadavky -
Poslední úprava: Roman Golovko, Ph.D. (26.09.2018)

Znalost základů topologie (definice topologie, jemnější, hrubší topologie, pojem spojitého zobrazení a homeomorfizmu) a diferenciálního počtu více proměnných na R^n.

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK