PředmětyPředměty(verze: 867)
Předmět, akademický rok 2019/2020
  
Úvod do teorie grup - NMAG337
Anglický název: Introduction to Group Theory
Zajišťuje: Katedra algebry (32-KA)
Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
Platnost: od 2019
Semestr: zimní
E-Kredity: 5
Rozsah, examinace: zimní s.:2/2 Z+Zk [hodiny/týden]
Počet míst: neomezen
Minimální obsazenost: neomezen
Stav předmětu: vyučován
Jazyk výuky: čeština
Způsob výuky: prezenční
Garant: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D.
Třída: M Bc. MMIT
M Bc. MMIT > Doporučené volitelné
M Bc. OM
M Bc. OM > Zaměření MSTR
M Bc. OM > Povinně volitelné
M Mgr. MMIB
M Mgr. MMIB > Volitelné
Kategorizace předmětu: Matematika > Algebra
Neslučitelnost : NALG017
Záměnnost : NALG017
XP//Ve slož. prerekvizitě: NMAG349, NMAG351
Anotace -
Poslední úprava: G_M (15.05.2012)
Základy teorie grup: kompoziční řady, semidirektní součin, působení na množině, řešitelnost a nilpotence. Sylowovy věty. Volné grupy a jejich podgrupy. Prezentace. Určeno pro zaměření Matematické struktury na OM.
Podmínky zakončení předmětu -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (22.10.2019)

Zápočet se uděluje za získání alespoň celkem 50 procent bodů ze tří domácích úkolů zadaných během semestru a dvou zápočtových písemek psaných na cvičení. Zápočet není nutnou podmínkou účasti u zkoušky.

Literatura -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (02.10.2012)

Aleš Drápal: Teorie grup : základní aspekty, Karolinum, Praha, 2000.

Derek J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer, New York, 1982.

Joseph J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups, Springer, New York, 1995.

M. Hall: The Theory of Groups, Macmillan Company, New York, 1959.

I.Martin: Isaacs, Finite group theory, American Mathematical Society, Providence, 2008.

L. Procházka, L. Bican, T. Kepka, P. Němec: Algebra, Academia, Praha, 1990.

Požadavky ke zkoušce -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (22.10.2019)

Zkoušená témata vycházejí z látky probrané na přednášce a cvičeních; důraz bude kladen především na zvládnutí teorie. Zkouška se koná písemnou formou.

Sylabus -
Poslední úprava: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (09.01.2020)

1.Operátorové grupy.

Omega-grupa a Omega-homomorfismus, Omega-invariantní podgrupy, charakteristické a úplně charakteristické podgrupy. Tranzitivita vlastnosti být (úplně) charakteristickou podgrupou, centrum grupy a grupa vnitřních automorfismů. Ekvivalence dané podgrupou a faktorizace Omega-grup. Věta o homomorfismu a věty o izomorfismu.

2.Kompoziční řady.

Zassenhausovo lemma, Omega-jednoduché grupy, subnormální a kompoziční řady, izomorfní zjemnění dvou Omega-subnormálních řad, jednoznačnost kompoziční řady: Jordan Hölderova věta.

3.Řešitelné a nilpotentní grupy.

Normalizátor a centralizátor grupy. Horní centrální řada a nilpotentní podgrupy, Komutátor, komutant, derivivaná řada grupy a řešitelné grupy. Charakterizace řešitelnosti pomocí subnormálních řad, nilpotentní grupy jsou řešitelné. Podgrupy a faktorové grupy nilpotentních a řešitelných grup. Působení grupy na množině, centralizátor prvku je stabilizátor akce konjugace, grupa řádu p^n je nilpotentní.

4.Součiny grup.

Vnitřní charakterizace direktního součinu. Semidirektní součin a jeho vnitřní charakterizace. Volný součin grup, redukované prvky, univerzální vlastnost volného součinu grup, volná grupa a volná báze. Volné grupy jsou právě volné součiny nekonečných cyklických grup.

5.Sylowovy podgrupy. Působení podgrupy na množině konjugovaných podgrup, normalizátor vlastní podgrupy nilpotentní grupy, Cachyho věta , konečné p-grupy a Sylowovy p-podgrupy. Sylowovy věty.

Charakterizace nilpotentních grup pomocí Sylowových podgrup.

6. Volné grupy.

Konstrukce množiny generátorů podgrupy pomocí transversály, podgrupa konečného indexu konečně generované grupy je konečně generovaná. Schreierova transversála, každá podgrupa volné grupy je volná

 
Univerzita Karlova | Informační systém UK