Matematická analýza II - NMAF052

• Anglický název: Mathematical Analysis II
• Zajišťuje: Kabinet výuky obecné fyziky (32-KVOF)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2017 do 2017
• Semestr: letní
• E-Kredity: 10
• Rozsah, examinace: letní s.:4/3, Z+Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština
• Způsob výuky: prezenční
• Způsob výuky: prezenční
• Garant: prof. Ing. Branislav Jurčo, CSc., DSc.
• Třída: Fyzika
• Kategorizace předmětu: Fyzika > Matematika pro fyziky
• Záměnnost : NMAF034
• Je záměnnost pro: NMAF034
• Ve slož. prerekvizitě: NMAG204, NMMA201, NMMA202, NMMA203, NMNM201, NNUM105

Anotace

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (10.01.2018)

Druhá část základního kurzu matematiky pro bakalářské studium obecné fyziky. Navazuje na NMAF051

angličtina

Poslední úprava: G_F (22.05.2008)

Second part of the basic course of mathematics for the students of general physics (bachelor study). Follows the course NMAF051.

Cíl předmětu

čeština

Poslední úprava: T_KMA (13.05.2008)

Druhá část základního kursu matematiky pro bakalářské studium fyziky. Navazuje na NMAF051

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (13.05.2008)

Second part of hte basic course of mathematics for the students of physics (bachelor study). Follows the course MAF033, a simultaneously running course MAF041 is recommended.

Podmínky zakončení předmětu

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (18.02.2019)

Aby student mohl přijít ke zkoušce, musí mít zápočet.

Zápočet: Na cvičení se budou psát 2 testy za 20 + 20 bodů. Za aktivitu na cvičení můžete získat až 5 bodů. Zápočet dostanete, když získáte celkem alespoň 20 bodů. Ve zkouškovém období se budou psát dvě opravné zápočtové písemky určené pro studenty, kteří nezískali zápočet podle výše uvedených pravidel a měli na cvičení účast aspoň 75 %.

Literatura

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (18.02.2019)

• Kopáček J.: Matematika pro fyziky I.,II.,III. Skripta MFF UK
• Kopáček J. a kol. : Příklady z matematiky pro fyziky I., II. Skripta MFF UK
• Jarník J.: Diferenciální počet I.,II
• Jarník J.: Integrální počet I
• Děmidovič V.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy (rusky)
• Videozáznamy přednášek

Metody výuky

Poslední úprava: T_KMA (13.05.2008)

přednáška + cvičení

Požadavky ke zkoušce

Poslední úprava: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (18.02.2019)

Zkouška bude písemná a bude mít 2 části, početní a teoretickou. Student musí úspěšně složit obě části zkoušky.

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.

Sylabus

čeština

Poslední úprava: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (10.01.2018)

1. Číselné a mocninné řady
Řady reálných a komplexních čísel: konvergence a divergence, uzávorkování řad, aritmetika konvergentních řad. Řady s nezápornými členy a kritéria jejich konvergence, absolutní a neabsolutní konvergence, kritéria neabsolutní konvergence, přerovnání a násobení řad, Cauchyův součin řad. Elementární poznatky z teorie mocninných řad: poloměr konvergence, kruh konvergence, kritická kružnice. Derivování a integrování mocninných řad. Taylorovy řady.

2. Obyčejné diferenciální rovnice
ODR n-tého řadu, souvislost se systémem ODR 1. řádu, počáteční podmínky, věta o řešitelnosti a o jednoznačnosti řešení.

Lineární rovnice n-tého řádu, homogenní a nehomogenní rovnice, fundamentální systém. Metoda charakteristického polynomu, komplexní a reálný FS, případ vícenásobných kořenů, speciální pravá strana, obecná variace konstant. Bernoulliova rovnice. Wronskián. Speciální typy rovnic vyššího řádu. Eulerova rovnice. Řešení rovnic pomocí Taylorových řad.

3. Funkce více proměnných
Vzdálenost, metrika a metrický prostor. Norma a normovaný prostor. Otevřená množina, okolí, uzavřená množina, uzávěr, vnitřek, hranice. Konvergence, cauchyovskost, úplnost, kompaktnost, separabilita, Banachův a Hilbertův prostor. Kompaktní množiny v metrickém prostoru a v Rn. Limita a spojitost funkcí více proměnných, Heineho věta, spojitost a stejnoměrná spojitost, spojitý obraz kompaktu a důsledky. Kontraktivní zobrazení. Banachova věta o pevném bodu a její aplikace. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Operátory grad, div, rot. Totální a parciální diferenciály. Diferenciální rovnice ve tvaru totálního diferenciálu, exaktní rovnice, integrační faktor. Složené derivování a záměna proměnných, věta o střední hodnotě pro víc proměnných. Taylorův vzorec a vyšší diferenciály. Extrémy funkcí více proměnných, implicitní funkce, vázané extrémy, Lagrangeovy multiplikátory.

4. Základy variačního počtu v jedné dimenzi
Funkcionál, Gateauxův diferenciál, variace. Euler-Lagrangeovy rovnice, klasická úloha variačního počtu, Lagrangián, kritický bod funkcionálu, extremála funkcionálu.

angličtina

Poslední úprava: T_KMA (13.05.2008)

1. Number series and power series

Convergent/oscilatory/divergent number series; convergence criteria for series with non-negative terms and general terms; absolute and relative convergence; product of series. Elementary power series, derivatives and primitives to series. Taylor series.

2. Ordinary differential equations

Solution of an ODE; Cauchy problem for the ODE's; basic existence and uniqueness theorems; scalar equations of the first order - basic methods of finding solutions; linear equations of the nth order - fundamental system, variation of the constant, special right-hand side. Connection to the system of ODEs. Wronskian, Bernoulli and Euler equations.

3. Functions of more than one variable

Metric, norm, open and closed sets, closure, interior, boundary. Convergence, completeness, compactness, separability. Banach and Hilbert spaces. Continuity and uniform continuity, Heine theorem. Continuous functions on a compact set. Contractive mapping. Banach fixed point theorem. Theorem on the solvability of ODE. Limit and continuity. Partial and directional derivatives, total differential. Grad, div and curl. Exact differential equations, integration factor. Chain rule, change of variables. Mean value theorem, Taylor series. Local and global extrema, Lagrange multipliers. Implicit functions.

4. Variational calculus.

Functional, Gateaux derivative, variation. Euler-Lagrange equations.