Algebraická teorie čísel - NDMI066

• Anglický název: Algebraic Number Theory and Combinatorics
• Zajišťuje: Katedra aplikované matematiky (32-KAM)
• Fakulta: Matematicko-fyzikální fakulta
• Platnost: od 2017
• Semestr: zimní
• E-Kredity: 3
• Rozsah, examinace: zimní s.:2/0, Zk [HT]
• Počet míst: neomezen
• Minimální obsazenost: neomezen
• 4EU+: ne
• Virtuální mobilita / počet míst pro virtuální mobilitu: ne
• Stav předmětu: vyučován
• Jazyk výuky: čeština, angličtina
• Způsob výuky: prezenční
• Další informace: http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/ATC17.html
• Garant: doc. RNDr. Martin Klazar, Dr.
• Vyučující: doc. RNDr. Martin Klazar, Dr.
• Třída: Informatika Mgr. - Diskrétní modely a algoritmy
• Kategorizace předmětu: Informatika > Diskrétní matematika

Anotace

čeština

Nahradíme-li těleso racionálních čísel Q jeho konečným rozšířením K, např. K=Q(i) nebo K=Q(2^{1/2}), okruh celých čísel Z se rozšíří do okruhu celých čísel O_K tělesa K. Algebraická teorie čísel se zabývá aritmetikou O_K, zejména podobami jednoznačného rozkladu na prvočísla. Tyto výsledky mají důležité aplikace v původním okruhu Z, hlavně při řesení diofantických rovnic. V přednášce zavedeme klíčové pojmy, dokážeme základní výsledky a budeme se věnovat aplikacím na diofantické rovnice.

Poslední úprava: T_KAM (27.04.2005)

angličtina

If the field of fractions Q is replaced with its finite extension K, for example K=Q(i) or K=Q(2^{1/2}), the ring of integers Z extends in the ring of integers O_K of K. Algebraic number theory investigates arithmetic of O_K, especially unique factorization. These results have important applications in the original ring Z, mainly for solving diophantine equations. In the course we shall present basic notions and results as well as some applications to diophantine equations.

Poslední úprava: T_KAM (27.04.2005)

Cíl předmětu

čeština

Studenti se seznámí s některými algebraickými technikami v kombinatorice a v teorii čísel a

s řadou výsledků dosažených těmito technikami.

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (21.09.2016)

angličtina

The topic is algebraic techniques in combinatorics and number theory.

We will learn many interesting results obtained by them.

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (21.09.2016)

Podmínky zakončení předmětu

čeština

Ústní zkouška, může mít kontaktní nebo distanční

formu.

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (22.09.2020)

angličtina

Oral exam, in person or in distant mode.

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (22.09.2020)

Literatura

čeština

Borevich and Shafarevich: Number Theory, Academic Press 1966.

To je jedna z referencí, ale čerpám z mnoha dalších, např. z

přehledového článku N. Alona o algebraických metodách v kombinatorice.

Konkrétní literatura závisí na přednášce v daném roce a bude uvedena během přednášky.

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (12.10.2017)

angličtina

Borevich and Shafarevich: Number Theory, Academic Press 1966.

This is one of the references but I draw from many others, such as

the survey article of N. Alon on algebraic methods in combinatorics.

Further literature depends on the current lecture and will be given in the lecture.

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (12.10.2017)

Požadavky ke zkoušce

čeština

Zkouška je ústní, s písemnou přípravou. Konkrétní požadavky jsou na výše uvedené stránce

vyučujícího. Příklady zkušebních okruhů:

1. Dokažte, že pro každé m je nekonečně mnoho prvočísel tvaru 1 +mn.

2. Dokažte Wedderburnovu-Dicksonovu větu o nekomutativních tělesech.

3. Dokažte Fermatovu domněnku pro polynomy.

4. Dokažte Fermatovu domněnku pro čísla a exponent n = 3.

5. Načrtněte důkaz Skolemovy-Mahlerovy-Lechovy věty.

6. Dokažte Chevalley-Warningovu větu a její důsledky.

7. Dokažte Alonovu větu o nulách a důsledek o nadrovinách.

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (11.06.2019)

angličtina

Exam is oral, with written preparation. For concrete requirements see the above homepage of the course.

An example of exam questions:

1. Prove that there are infinitely many primes of the form p = 1 + mn.

2. Prove Wedderburn's theorem on skew fields.

3. Prove Fermat's last theorem ... for polynomials.

4. Prove the theorem of Ko Chao (if q > 3 is a prime number then x^2 - y^q = 1 has no solution in positive integers x, y).

5. Prove the Chevalley-Warning theorem and the corollary on multigraphs.

6. Prove Alon's Combinatorial Nullstellensatz and the corollary on hyperplanes.

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (11.06.2019)

Sylabus

čeština

Základní techniky a výsledky z algebry použité v kombinatorice a teorii čísel.

Např. aplikace v extremálních problémech (kombinatorika) či diofantických

rovnicích (teorie čísel).

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (21.09.2016)

angličtina

Basic techniques and results from algebra applied in combinatorics and number theory.

For example, in extremal problems (combinatorics) or diophantine equations (number theory).

Poslední úprava: Klazar Martin, doc. RNDr., Dr. (21.09.2016)