Last update: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. (15.07.2017)
Vektorové prostory, okolí bodu, konvergence, funkce několika proměnných, limity, spojitost, derivace ve směru, parciální derivace, diferenciál, tečné roviny, normály, implicitně zadaná funkce, křivky, plochy, transformace souřadnic, vícenásobný integrál, substituce, Fubiniova věta, křivkový a plošný integrál, užití.
Aim of the course - Czech
Last update: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. (15.07.2017)
Primárním cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy, vědomostmi a souvislostmi infinitesimálního počtu funkcí dvou a více proměnných v návaznosti na podobné kurzy o funkcích jedné proměnné. Sekundárním cílem je prověřit, zopakovat a upevnit znalosti z předcházejících kurzů zejména z matematické analýzy ale též geometrie (křivky, plochy) nebo algebry (vektorové prostory, lineární, kvadratické formy).
Literature - Czech
Last update: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. (15.07.2017)
Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987 - Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976 - Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: : Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha) - Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.) - Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - František Mošna: Inženýrská matematika (ČZU Praha)
Requirements to the exam - Czech
Last update: Mgr. Derek Pilous, Ph.D. (28.09.2017)
Zápočtový test: diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných (implicitní funkce, extrémy, vázané extrémy, vícerozměrný integrál, křivkový a plošný integrál)
Ústní zkouška: definice, věty a důkazy podle sylabu, příklady
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. (15.07.2017)
Introduction
repetition - linear vector spaces, scalar, vector and outer product (geometric meaning, determinants), lines - general form, slope-intercept form, parametric form, parametrization corresponding with longitude, planes, functions
real functions of several variables (R2->R), domain, level sets, cross-sections, limit (over a set, over domain), continuity
derivative in direction(Gâteaux differential and derivative), partial derivative, total differential (Frechet derivative), interrelations, theorems on derivatives and differential (counterexamples), gradient (V) - geometric meaning
higher order derivatives (exchange of mixed second derivatives), second differential, Taylor theorem
extremes local, absolut, constraint extremes (substitut method and Lagrange multipliers)
Banach fixed point theorem, implicit function theorem, calculating of derivatives, differentials, tangents, tangent planes
transformation of coordinates (R2->R2, R3->R3) - polar, (cylindric), spheric
Integral calculus
multiple (double, triple) integral, calculating of an area (disc), volume (ball, cone), centre of gravity (triangle, tetrahedron), moments, Fubini theorem, substitute theorem - connection of determinants with volume and area
curves in R2 (explicit, implicit, parametric form), tangent, normal, longitude of a curve (circle), divergence, (3. coordinate of curl), curve integral, Green theorem
křivky v R3 (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála
surfaces in R3 (explicit, implicit, parametric form), tangent plane, normal, area (of a sphere, lateral area of a cone), points on surface (eliptic, hyperbolic,..., asymptotic directions), divergence, curl, surface integral, Stokes, Gauss-Ostrogradsky theorem.
Last update: doc. RNDr. Antonín Jančařík, Ph.D. (15.07.2017)
Úvodní část
opakování - lineární vektorové prostory, skalární, vektorový a vnější součin (geometrický význam, determinanty), přímky - rovnice obecné, směrnicové a parametrické, parametrizace souhlasící se vzdáleností, roviny, funkce
konvergence, okolí, vzdálenost bodů (metrika, norma - euklidovská, součtová, maximální), body vnitřní, vnější, hraniční, hromadné, izolované, množiny otevřené, uzavřené, omezené, konvexní, souvislé, kompaktní, oblast.
Diferenciální počet
reálné funkce více proměnných (R2->R), definiční obor, vrstevnice, řezy, limita (na množině, na definičním oboru), spojitost
derivace ve směru (Gâteův diferenciál a derivace), parciální derivace, totální diferenciál (Fr?chetova derivace), vzájemné vztahy, věty o derivacích a diferenciálu (protipříklady), gradient (V) - geometrický význam
derivace vyšších řádů (záměnnost smíšených druhých derivací), druhý diferenciál, Taylorova věta
extrémy lokální, absolutní, vázané extrémy (metoda substituční a Lagrangeovy multiplikátory)
Banachova věta o pevném bodu, věta o implicitně zadané funkci, počítání derivací, diferenciálů, tečen, tečných rovin
vícenásobný (dvojný, trojný) integrál, výpočet obsahu (kruhu), objemu (koule, kužele), těžiště (trojúhelníku, čtyřstěnu), momentů, Fubiniova věta, věta o substituci - souvislost determinantu a objemu, obsahu
křivky v R2 (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečna, normála, délka křivky (kružnice), divergence, (3. složka rotace), křivkový integrál, Greenova věta
křivky v R3 (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála
plochy v R3 (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečná rovina, normála, obsah (povrch koule, plášť kužele), body na ploše (eliptické, hyperbolické,..., asymptotické směry), divergence, rotace, plošný integrál, Stokesova, Gaussova-Ostrogradského věta.
