Vector spaces, neighbourhood of a point, convergence, functions of several variables, limits, continuity, directional derivative, partial derivatives, differential, tangent planes, normals, implicit function, curves, surfaces, transformation of coordinates, multidimensional integral, substitution, Fubini theorem, curvilinear and surface integrals, application.
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (27.05.2010)
Vektorové prostory, okolí bodu, konvergence, funkce několika proměnných, limity, spojitost, derivace ve směru, parciální derivace, diferenciál, tečné roviny, normály, implicitně zadaná funkce, křivky, plochy, transformace souřadnic, vícenásobný integrál, substituce, Fubiniova věta, křivkový a plošný integrál, užití.
Aim of the course -
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (27.05.2010)
Primary purpose of the course is to make students acquainted with basic ideas, knowledges and connections of infinitesimal calculus of two or more variables functions in relation with similar courses on one variable functions. Secondary aim is to prove, repetite and fix knowledges of previous courses especially from mathematical analysis, but from geometry (curves, surfaces) or algebra (vector space, linear, quadratic forms) as well.
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (27.05.2010)
Primárním cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy, vědomostmi a souvislostmi infinitesimálního počtu funkcí dvou a více proměnných v návaznosti na podobné kurzy o funkcích jedné proměnné. Sekundárním cílem je prověřit, zopakovat a upevnit znalosti z předcházejících kurzů zejména z matematické analýzy ale též geometrie (křivky, plochy) nebo algebry (vektorové prostory, lineární, kvadratické formy).
Literature -
Last update: MOSNAF/PEDF.CUNI.CZ (18.11.2011)
- Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987 - Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976 - Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: : Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha) - Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.) - Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - František Mošna: Inženýrská matematika (ČZU Praha)
Last update: MOSNAF/PEDF.CUNI.CZ (18.11.2011)
- Serge Lang: Calculus of Several Variables, Springer N. York 1987 - Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis,McGraw-Hill 1976 - Bruno Budinský, Jura Charvát: Matematika II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: Diferenciální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Jaroslav Tišer, Jan Hamhalter: : Integrální počet funkcí více proměnných (elektrotechnická fakulta ČVUT Praha) - Eva Dontová: Matematika IV. (fakulta jaderné fyziky a inženýrství ČVUT Praha) - Štěpán Pelikán, Tomáš Zdráhal: Matematická analýza - funkce více proměnných (Universita J.E.Purkyně, Ústí n. L.) - Ondřej Zindulka: Vektorové pole (stavební fakulta ČVUT Praha) - Jiří Brabec: Matematická analýza II. (stavební fakulta ČVUT Praha) - František Mošna: Inženýrská matematika (ČZU Praha)
Teaching methods -
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (27.05.2010)
Lecture and seminar.
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (27.05.2010)
Přednáška a cvičení.
Requirements to the exam -
Last update: MOSNAF/PEDF.CUNI.CZ (18.11.2011)
- credit requirements:active participation at seminars, one controltest,which demonstratesthe ability tomanipulateanduse appropriate concepts,knowledgeand relationship by theexamples (two examples on differential calculus, one example on integral calculus), (there will be two terms duringthe examination period for possible correction) - exam requirements: understanding of given concepts,relationshipsin three questions (the first question examines certain concept, its definition, introduction...,second questionrelates to some process,method,inference, problem solving, the thirdquestion asks the student to decideon validity ofsubmitted state andjustify his decision orsupport it by a counterexample)
Last update: MOSNAF/PEDF.CUNI.CZ (18.11.2011)
zápočet - přiměřená aktivní účast, semestrový test, který prokáže schopnost manipulovat se zavedenými pojmy a užívat probrané znalosti a souvislosti na příkladech (dva příklady z diferenciálního počtu, jeden příklad z integrálního počtu)
zkouška - porozumění probraným pojmům, vztahům a souvislostem ve třech otázkách (první otázka se týká nějakého pojmu - definice, zavedení..., druhá otázka nějakého postupu, metody, odvození, ve třetí otázce má student rozhodnout o platnosti předloženého tvrzení a své rozhodnutí zdůvodnit nebo podepřít protipříkladem)
Syllabus -
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (27.05.2010)
Introduction
repetition - linear vector spaces, scalar, vector and outer product (geometric meaning, determinants), lines - general form, slope-intercept form, parametric form, parametrization corresponding with longitude, planes, functions
real functions of several variables (R2->R), domain, level sets, cross-sections, limit (over a set, over domain), continuity
derivative in direction(Gâteaux differential and derivative), partial derivative, total differential (Frechet derivative), interrelations, theorems on derivatives and differential (counterexamples), gradient (V) - geometric meaning
higher order derivatives (exchange of mixed second derivatives), second differential, Taylor theorem
extremes local, absolut, constraint extremes (substitut method and Lagrange multipliers)
Banach fixed point theorem, implicit function theorem, calculating of derivatives, differentials, tangents, tangent planes
transformation of coordinates (R2->R2, R3->R3) - polar, (cylindric), spheric
Integral calculus
multiple (double, triple) integral, calculating of an area (disc), volume (ball, cone), centre of gravity (triangle, tetrahedron), moments, Fubini theorem, substitute theorem - connection of determinants with volume and area
curves in R2 (explicit, implicit, parametric form), tangent, normal, longitude of a curve (circle), divergence, (3. coordinate of curl), curve integral, Green theorem
křivky v R3 (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála
surfaces in R3 (explicit, implicit, parametric form), tangent plane, normal, area (of a sphere, lateral area of a cone), points on surface (eliptic, hyperbolic,..., asymptotic directions), divergence, curl, surface integral, Stokes, Gauss-Ostrogradsky theorem.
Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (27.05.2010)
Úvodní část
opakování - lineární vektorové prostory, skalární, vektorový a vnější součin (geometrický význam, determinanty), přímky - rovnice obecné, směrnicové a parametrické, parametrizace souhlasící se vzdáleností, roviny, funkce
konvergence, okolí, vzdálenost bodů (metrika, norma - euklidovská, součtová, maximální), body vnitřní, vnější, hraniční, hromadné, izolované, množiny otevřené, uzavřené, omezené, konvexní, souvislé, kompaktní, oblast.
Diferenciální počet
reálné funkce více proměnných (R2->R), definiční obor, vrstevnice, řezy, limita (na množině, na definičním oboru), spojitost
derivace ve směru (Gâteův diferenciál a derivace), parciální derivace, totální diferenciál (Fr?chetova derivace), vzájemné vztahy, věty o derivacích a diferenciálu (protipříklady), gradient (V) - geometrický význam
derivace vyšších řádů (záměnnost smíšených druhých derivací), druhý diferenciál, Taylorova věta
extrémy lokální, absolutní, vázané extrémy (metoda substituční a Lagrangeovy multiplikátory)
Banachova věta o pevném bodu, věta o implicitně zadané funkci, počítání derivací, diferenciálů, tečen, tečných rovin
vícenásobný (dvojný, trojný) integrál, výpočet obsahu (kruhu), objemu (koule, kužele), těžiště (trojúhelníku, čtyřstěnu), momentů, Fubiniova věta, věta o substituci - souvislost determinantu a objemu, obsahu
křivky v R2 (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečna, normála, délka křivky (kružnice), divergence, (3. složka rotace), křivkový integrál, Greenova věta
křivky v R3 (vyjádření parametrické), tečna, hlavní normála, binormála
plochy v R3 (vyjádření explicitní, implicitní, parametrické), tečná rovina, normála, obsah (povrch koule, plášť kužele), body na ploše (eliptické, hyperbolické,..., asymptotické směry), divergence, rotace, plošný integrál, Stokesova, Gaussova-Ostrogradského věta.
