First semester of the course of general relativity and its applications in astrophysics and cosmology. Introduction to general relativity: principle of equivalence and principle of general covariance, parallel transport and geodesics, gravitational shift of frequency; curvature, energy-momentum tensor and Einstein's gravitational law. Schwarzschild solution of the Einstein equations, the notion of black hole. Homogeneous and isotropic cosmological models. For the bachelor study of physics, mainly for students who plan to graduate in theoretical physics or astronomy and astrophysics.
Last update: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (10.05.2019)
První semestr kursu obecné relativity a jejích aplikací v astrofyzice a kosmologii. Úvod do obecné teorie relativity:
princip ekvivalence a princip obecné kovariance, paralelní přenos a rovnice geodetiky, gravitační frekvenční
posun; křivost, tenzor energie a hybnosti a Einsteinův gravitační zákon. Schwarzschildovo řešení Einsteinových
rovnic, pojem černé díry. Homogenní a izotropní kosmologické modely. Pro 3. roč. bakalářského studie se
zaměřením na TF a AA a pro 1. roč. navazujícího magisterského studia oboru MOD.
Course completion requirements - Czech
Last update: doc. RNDr. Oldřich Semerák, DSc. (24.04.2020)
Ústní zkouška.
V r. 2020 může být v řadě případů nutné zorganizovat zkoušení distanční formou. Závisí to na vývoji aktuální situace, podrobnosti dohodne vyučující přímo se studenty.
Literature - Czech
Last update: doc. RNDr. Oldřich Semerák, DSc. (14.02.2022)
Last update: doc. RNDr. Oldřich Semerák, DSc. (24.04.2020)
Zkouška je ústní, požadavky odpovídají sylabu předmětu, v detailech pak tomu, co bylo během semestru odpřednášeno.
(Pro rok 2020 platí látka probraná na videozáznamu kursu.)
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Oldřich Semerák, DSc. (14.02.2022)
Introduction.
Theory of gravitation in physical picture of the world. Evolution of ideas on space, time and gravitation. Outline of main starting-points, predictions and applications of general theory of relativity. Reminding the formalism of special relativity (lecture NOFY023).
Starting principles and their immediate applications.
Principle of equivalence, its various formulations and relevant experiments. Principle of general covariance ('general relativity'). Parallel transport, affine connection and Christoffel symbols. Equation of geodesic and its Newtonian limit. Time dilation and frequency shift in gravitational field, Newtonian limit: static case and orbiting-satellite case. Covariant derivative: introducing covariant and absolute derivative, rewriting the parallel-transport and geodesic equations.
Curvature.
Riemann curvature tensor, its symmetries, geometrical and physical meaning (non-integrability of parallel transport, equation of geodesic deviation). Bianchi identities. Ricci tensor and curvature scalar.
Energy-momentum tensor and conservation laws.
Energy-momentum tensor of charged incoherent dust and of (its) EM field. Ideal fluid: conservation laws, Euler equation of motion and equation of continuity; conditions of hydrostatic equilibrium.
Einstein's gravitational law.
Motivation. Derivation of Einstein equations on the basis of the Riemann-tensor uniqueness, Bianchi identities, conservation laws and Newtonian limit of the theory. The question of cosmological constant. Properties of Einstein equations. Principle of minimal coupling.
Lie derivative and space-time symmetries.
Vector field and its flow, natural concept of scalar and vector transport and its coordinate expression. Lie derivative and space-time isometries. Basic properties of Killing vector fields.
Schwarzschild solution of Einstein equations.
Metric of spherically symmetric spacetime, Birkhoff's theorem. Basic features of Schwarzschild metric, Schwarzschild black hole - horizon, singularity. Motion of free spinless test particles in the Schwarzschild field - constants of motion, effective potentials, capture and escape of particles; comparison with Keplerian motion in Newtonian central gravitational field.
Relativistic cosmology.
Basic observational data on universe as a whole - distribution of mass, Hubble formula, relict radiation, 'big bang'. Description of 'cosmic fluid', homogeneity and isotropy of the universe and introduction of comoving coordinates. Spatial geometry on hypersurfaces of homogeneity and Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker metric. Roles of matter and radiation. Einstein equations and basic cosmological models - qualitative discussion. Friedmann cosmological models. Cosmology in terms of 'Omega-factors'.
Last update: doc. RNDr. Oldřich Semerák, DSc. (14.02.2022)
Úvod.
Teorie gravitace ve fyzikálním obrazu světa. Vývoj názorů na prostor, čas a gravitaci. Přehled hlavních východisek, předpovědí a aplikací obecné teorie relativity. Připomenutí formalismu ze speciální teorie relativity (přednáška OFY023).
Výchozí principy a jejich aplikace.
Princip ekvivalence, jeho různé formulace a odpovídající experimenty. Princip obecné kovariance ('obecné relativity') a tenzorový zápis rovnic. Paralelní přenos; afinní konexe a Christoffelovy symboly. Rovnice geodetiky a její newtonovská limita. Dilatace času a frekvenční posun v gravitačním poli, newtonovská limita: statický případ a případ s obíhajícím satelitem. Kovariantní derivace: zavedení kovariantní a absolutní derivace, zápis rovnice pro paralelní přenos a rovnice geodetiky.
Křivost.
Riemannův tenzor křivosti, jeho symetrie, geometrický a fyzikální smysl (neintegrabilita paralelního přenosu, rovnice geodetické deviace). Bianchiho identity. Ricciho tenzor a skalární křivost.
Tenzor energie a hybnosti a zákony zachování.
Tenzor energie a hybnosti pro nabitý nekoherentní prach a (jeho) EM pole. Ideální tekutina: zákony zachování, Eulerova pohybová rovnice a rovnice kontinuity; podmínky hydrostatické rovnováhy.
Einsteinův gravitační zákon.
Motivace. Princip jednoduchosti, princip minimální vazby. Odvození Einsteinových rovnic na základě význačnosti Riemannova tenzoru, Bianchiho identit, zákonů zachování a newtonovské limity teorie. Otázka kosmologické konstanty. Vlastnosti Einsteinových rovnic. Princip minimální vazby.
Lieova derivace a prostoročasové symetrie
Vektorové pole a jeho tok, přirozený pojem přenášení skalárů a vektorů a jeho souřadnicové vyjádření. Lieova derivace a prostoročasové izometrie, základní vlastnosti Killingových vektorových polí.
Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic.
Metrika pro sféricky symetrický prostoročas, Birkhoffův teorém. Základní vlastnosti Schwarzschildovy metriky, Schwarzschildova černá díra - horizont, singularita. Pohyb volných testovacích částic ve Schwarzschildově prostoročasu - konstanty pohybu, efektivní potenciály, záchyt a únik částic; porovnání s keplerovským pohybem v newtonovském centrálním gravitačním poli.
Relativistická kosmologie.
Základní observační údaje o vesmíru jako celku - rozložení hmoty, Hubbleův vztah, reliktní záření, 'big bang'. Popis 'kosmické tekutiny', homogenita a izotropie vesmíru a zavedení synchronního souřadného systému. Prostorová geometrie na nadplochách homogenity a Friedmannova-Lemaitreova-Robertsonova-Walkerova metrika. Role látky a záření. Einsteinovy rovnice a základní kosmologické modely - kvalitativní diskuse. Friedmannovy kosmologické modely. Kosmologie v řeči 'Omega-faktorů'.
