Last update: prof. RNDr. Jiří Podolský, CSc., DSc. (29.04.2019)
In this course, students become familiar with basic notions and results of the group theory and the representation
theory for both finite and continuous (Lie) groups and learn how to use them to solve problems in physics. For the
1st and 2nd year of the TF and JSF studies.
Last update: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (10.05.2019)
Na přednášce se studenti seznámí se základními pojmy a výsledky teorie grup a jejich reprezentací jak pro
konečné, tak pro spojité Lieovy grupy. Na cvičení si vyzkouší jejich použití v konkrétních fyzikálních situacích.
Vhodné pro 1. a 2. roč. navazujícího magisterského studia TF, JSF a MOD.
Course completion requirements -
Last update: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (18.02.2022)
The condition for granting the credit is the fulfillment of take-home problems. This credit is not a condition for participation in the exam.
Last update: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (11.10.2023)
Podmínkou udělení zápočtu je získání dostatečného počtu bodů za domácí úlohy. Zápočet není podmínkou účasti u zkoušky. Detailní požadavky viz http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/NTMF061
Literature -
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (28.09.2021)
Cornwell J. F.: Group Theory in Physics, Volumes I and II (Academic Press, London 1984)
Morton Hamermesh: Group Theory and Its Application to Physical Problems, Dover Publications, 1989
Shlomo Sternberg: Group theory and physics, Cambridge University Press, Cambridge 1994
Otto Litzman, Milan Sekanina: Užití grup ve fyzice, Academia, Praha 1982
Ma, Z.-Qi: Group Theory for Physicists (World Scientific, New Jersey 2007)
Marián Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava 2004, chapt. 10-12
Isham, C. J.: Modern Differential Geometry for Physicists, 2nd Ed. (World Scientific, Singapore 1999)
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (28.09.2021)
Cornwell J. F.: Group Theory in Physics, Volumes I and II (Academic Press, London 1984)
Morton Hamermesh: Group Theory and Its Application to Physical Problems, Dover Publications, 1989
Shlomo Sternberg: Group theory and physics, Cambridge University Press, Cambridge 1994
Otto Litzman, Milan Sekanina: Užití grup ve fyzice, Academia, Praha 1982
Ma, Z.-Qi: Group Theory for Physicists (World Scientific, New Jersey 2007)
Marián Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, Bratislava 2004, chapt. 10-12
Isham, C. J.: Modern Differential Geometry for Physicists, 2nd Ed. (World Scientific, Singapore 1999)
Requirements to the exam -
Last update: doc. RNDr. Karel Houfek, Ph.D. (18.02.2022)
The exam is oral. The requirements correspond to the syllabus of the course to the extent that was presented at the lectures.
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (30.09.2019)
Zkouška je pouze ústní. Požadavky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce. Detailní požadavky viz http://utf.mff.cuni.cz/~kolorenc/
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (30.09.2019)
Fundamentals of the theory of finite and Lie groups
Groups and their subgroups (basic properties and theorems), group homomorphism and isomorphism, group action on a set, Lie groups and its algebra (geometrical and matrix approach), one-parameter subgroups of the Lie group and exponential map, summary of matrix groups and their properties (double cover of SO(3) by SU(2))
Fundamentals of the representation theory of groups
Representation as a group action on linear spaces, invariant subspaces, equivalent, unitary, irreducible, and (completely) reducible representations, basic theorems for finite and compact Lie groups (Schur's lemma, orthogonality relations, characters and their properties, Peter-Weyl theorem, Casimir operators, Racah theorem), summary of results of the representation theory of the symmetric group and the group SU(n)
Applications in quantum theory
Classification of eigenvalues and eigenstates of an operator by irreducible representations of a symmetry group, coupled systems and decomposition of reducible representations (Clebch-Gordan series and coefficients), evaluation of matrix elements using group-theoretical methods (irreducible tensor operators, general Wigner-Eckart theorem, selection rules)
All notions and theorems will be illustrated by examples of point groups (which describe molecular and crystal symmetries and which play important role in quantum chemistry, molecular spectroscopy and solid state physics) and selected Lie groups such as SO(3), SU(2), and SU(3) (which are important in atomic, nuclear and particle physics).
Previous knowledge of groups is not assumed, but working knowledge of linear algebra and basic quantum mechanics is necessary for application.
Last update: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D. (30.09.2019)
Základy teorie konečných a Lieových grup
Grupy a jejich podgrupy (základní vlastnosti a tvrzení), homomorfizmus a izomorfizmus grup, působení grupy na množině, Lieova grupa a její Lieova algebra (geometrický a maticový přístup), jednoparametrické podgrupy Lieovy grupy a exponenciální zobrazení, přehled základních maticových grup a jejich vlastností (dvojnásobné pokrytí grupy SO(3) grupou SU(2)).
Základy teorie reprezentací grup
Reprezentace jako působení grup na lineárních prostorech, invariantní podprostory, ekvivalentní, unitární, ireducibilní a (úplně) reducibilní reprezentace a základní tvrzení o nich, především pro konečné a kompaktní Lieovy grupy (Schurova lemmata, relace ortogonality, charaktery a jejich vlastnosti, Peterův-Weylův teorém, Casimirovy operátory, Racahův teorém), základní přehled výsledků teorie reprezentací symetrické grupy a grupy SU(n).
Aplikace v kvantové teorii
Klasifikace vlastních čísel a vlastních funkcí operátoru podle ireducibilních reprezentací grupy symetrie tohoto operátoru, systémy složené z podsystémů a rozklad reducibilních reprezentací (Clebschovy-Gordanovy rozvoje a koeficienty), výpočet maticových elementů pomocí metod teorie reprezentací grup (ireducibilní tenzorové operátory a obecný Wignerův-Eckartův teorém, výběrová pravidla).
Během přednášky a zvláště na cvičeních budou výše uvedená témata ilustrována jednak na bodových grupách, které popisují symetrie molekul a krystalů a jejichž reprezentace hrají důležitou roli v kvantové chemii, molekulární spektroskopii a teorii pevných látek, a jednak na vybraných Lieových grupách důležitých v atomové, jaderné a částicové fyzice jako jsou grupy SO(3), SU(2) či SU(3).
Nepředpokládá se předchozí znalost grup, jen základy lineární algebry. Vzhledem k hojnému výskytu příkladů z kvantové mechaniky se též předpokládá základní znalost této teorie.
