Last update: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc. (04.06.2020)
Kurzovní přednáška z algebry pro navazující magisterské učitelské studium (polynomy a jejich kořeny, Lagrangeova
postupná symetrizace; přechod v algebře od hledání kořenů polynomů ke zkoumání struktur). Propojení algebraických
témat se školskou matematikou (diskriminant, Vietovy věty, zavedení komplexních čísel, různé způsoby řešení
kvadratické rovnice).
Course completion requirements -
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (29.10.2019)
Successful completion of a written test (120 minutes).
It is necessary to demonstrate an understanding of all the topics discussed in the lecture.
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (29.10.2019)
Úspěšné napsání závěrečného testu (120 minutes).
Je nutno prokázat dobrou znalost každého z odpřednášených témat.
Literature -
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (04.06.2020)
Basic literature:
Dlab V., Bečvář J.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016.
Additional literature:
Bewersdorff J.: Galois Theory for Beginners; A Historical Perspective. Student Mathematical Library (Book 35), AMS, 2006. 180 stran.
Tignol J.-P.: Galois' Theory of Algebraic Equations. World Scientific Publishing, Singapore, 2001.
Blažek J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I, II. SPN, Praha, 1983, 1984.
Stanovský D.: Základy algebry. Matfyzpress, Praha, 2010.
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (02.01.2023)
Povinná literatura:
Dlab V., Bečvář J.: Od aritmetiky k abstraktní algebře. Serifa, Praha, 2016.
Doporučená literatura:
Bewersdorff J.: Galois Theory for Beginners; A Historical Perspective. Student Mathematical Library (Book 35), AMS, 2006. 180 stran.
Tignol J.-P.: Galois' Theory of Algebraic Equations. World Scientific Publishing, Singapore, 2001.
Blažek J. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika I, II. SPN, Praha, 1983, 1984.
Stanovský D.: Základy algebry. Matfyzpress, Praha, 2010.
Syllabus -
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (04.06.2020)
Elementary introduction to Galois theory
Solution of quadratic and cubic equations by different methods, comparison of methods applicable in school mathematics. Viete's formulas.
Elementary introduction to Galois theory, Lagrange's symmetrization, application of Viete's formulas, symmetric polynomials, cyclic groups, factorization of permutation groups.
Symmetric polynomials and discriminant
Simple and elementary symmetric polynomials. Relation to Viete's formulas. Discriminant - general definition and its calculation, connection with school mathematics.
Polynomials and fields
Comparison of different definitions of a polynomial and their application in school mathematics. Elimination of root multiplicity, derivation of a polynomial. Boundaries for polynomial roots. Horner's scheme. Lagrange's interpolation.
Relationship between Q[x] and Z[x], examples, Eisenstein's criterion.
Primitive field, finite field structure. Algebraic field closure.
Introduction of complex numbers in school mathematics, Kronecker's theorem. Field extension, splitting fields, examples.
Solvability of algebraic equations in radicals, Galois correspondences.
Groups and their classification
Simple, cyclic, abelian groups - examples and contexts. A_5 is simple, the consequences. Cauchy's theorem. Sylow's theorems and their applications.
Last update: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D. (03.01.2023)
Polynomy a jejich kořeny:
Polynom a polynomiální funkce, porovnání a aplikace ve školské matematice.
Tzv. základní věta algebry a její důsledky. Z_p nejsou algebraicky uzavřená - protipříklady.
Eliminace násobnosti kořenů, derivace polynomu.
Hranice rozložení kořenů polynomů. Hornerovo schéma. Lagrangeova interpolace.
Prolegomena ke Galoisově teorii:
Řešení kvadratické a kubické rovnice různými postupy, porovnání postupů použitelných ve školské matematice. Vietovy věty.
Lagrangeova postupná symetrizace (aplikace Vietových vět, symetrických polynomů, cyklických grup, faktorizace grup permutací).
Algebraické rozšíření pole (kořenové a rozkladové pole), stupeň rozšíření, jednoduché příklady. jednoduché příklady Galoisových korespondencí.
Řešitelnost algebraické rovnice v radikálech - znění základní věty. Důkaz, že A_5 je jednoduchá.
Konstruovatelnost pravítkem a kružítkem:
Eukleidovsky konstruovatelné body a čísla. Zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu.
Konstruovatelnost pravidelných n-úhelníků.
Symetrické polynomy:
Jednoduché a elementární symetrické polynomy, hlavní věta o symetrických polynomech.
Diskriminant, motivace, obecná definice, výpočet pomocí determinantu, souvislosti se školskou matematikou.
Grupy a pole - základní přehled:
Základní vlastnosti grup: grupy jednoduché, cyklické, abelovské - jednoduché příklady a souvislosti, znění věty Cauchyovy a první Sylowovy.
Prvopole, struktura konečných polí.
Zavedení komplexních čísel ve školské matematice, souvislost s Kroneckerovou větou.
