The course treats estimates of the error in approximate numerical solution of partial
differential equations. The impact is on guaranteed and fully computable estimates. A unified framework for
classical
numerical methods (FEM, DGFEM,...) is introduced. The theory is developed for a large variety of problems. The
emphasis is on the use of the estimates for efficient numerical calculation (adaptive mesh
refinement, adaptive choice of the time step, stopping criteria for linear and nonlinear
solvers).
Last update: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (15.01.2019)
Přednáška se zabývá odhady chyby v přibližném numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic. Důraz je
kladen na zaručené a plně spočítatelné odhady. Je představen jednotný rámec zahrnující klasické numerické
metody (FEM, DGFEM,...). Teorie je odvozena pro pro řadu praktických problémů. Zdůrazněno je využití odhadů
pro efektivní numerické výpočty (adaptivní zjemňování sítě, adaptivní volba časového kroku, včasné zastavení
lineárních a nelineárních řešičů).
Aim of the course -
Last update: T_KNM (02.04.2015)
The course derives fully computable estimates on the error in numerical solution of partial differential equations via the method of equilibrated fluxes.
Last update: RNDr. Miloslav Vlasák, Ph.D. (12.02.2018)
Přednáška odvozuje plně spočítatelné odhady chyby v numerickém řešení parciálních
diferenciálních rovnic pomocí metody vyvážených toků.
Literature - Czech
Last update: T_KNM (02.04.2015)
Vohralík, M., A posteriori error estimates for efficiency and error control in numerical simulations, skripta.
Ainsworth, M., Oden, J.T., A posteriori error estimation in finite element analysis. Wiley-Interscience, New York, 2000.
Repin, S.I., A posteriori estimates for partial differential equations. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2008.
Verfürth, R., A posteriori error estimation techniques for finite element methods. Oxford University Press, Oxford, 2013.
Requirements to the exam -
Last update: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D. (11.06.2019)
Students will be examined by written test
Last update: prof. Ing. Martin Vohralík, Ph.D. (11.06.2019)
Studenti budou zkouseni pomoci psaneho testu
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (19.12.2018)
Basic properties of an a posteriori estimate: guaranteed upper bound, local efficiency, asymptotic exactness, robustness with respect to parameters, low evaluation cost, distinction of error components
Mathematical framework: continuity of the potential and continuity of the normal trace of the flux: the spaces H1 and H(div), primal and dual variational formulations, Green theorem, Prager and Synge theorem, Poincaré-Friedrichs-Wirtinger inequalities, residual of a partial differential equation, energy norm and dual norms
Construction and evaluation of the estimators: potential reconstruction, flux reconstruction, equilibration using the mixed finite element method, equivalence with the error
Theory for model problems: Laplace equation, the advection-diffusion-reaction equation, the Stokes equation, the unsteady heat equation, the nonlinear Laplace equation
Application to classical numerical methods: conforming finite element method, nonconforming finite element method, mixed finite element method, discontinuous Galerkin method, finite volume method
Use of the estimates: adaptation of spatial meshes, adaptation of the time step, stopping criteria for linear solvers, stopping criteria for nonlinear solvers
Last update: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (19.12.2018)
Základní vlastnosti aposteriorního odhadu : zaručený odhad, lokální efektivita, asymptotická přesnost, robustnost zhledem k parametrům, nízká výpočetní náročnost, rozlišení složek celkové chyby
Matematický rámec : spojitost potenciálu a spojitost normálové složky toku (prostory H1 a H(div)), primární a duální variační formulace, Greenova věta, Pragerova a Syngeova věta, Poincaréova a Friedrichsova nerovnost, reziduál parciální diferenciální nerovnice, energetická norma a duální normy
Konstrukce a vlastnosti odhadů : rekonstrukce potenciálu, rekonstrukce toku, ekvilibrace pomocí smíšené metody konečných prvků, ekvivalence s chybou
Teorie pro modelové problémy : Laplaceova rovnice, rovnice advekce-reakce-difúze, Stokesova rovnice, nestacionární rovnice vedení tepla, nelineární Laplaceova rovnice
Aplikace na základní numerické metody : metoda konečných prvků, nekonformní metoda konečných prvků, smíšená metoda konečných prvků, nespojitá Galerkinova metoda, metoda konečných objemů
Použití odhadů : adaptivní zjemňování prostorových sítí, adaptivní zjemňování časového kroku, zastavovací kritéria pro lineární řešiče, zastavovací kritéria pro nelineární řešiče