Last update: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (09.12.2018)
The course will deal with mathematical foundations of matrix iterative
methods, in particular Krylov subspace methods, in connection with the
areas of mathematics and computer science important for understanding
basic principles and the state of the art. It will formulate open
questions and explain existing misunderstandings going across the fields
that prevent deeper understanding and the development of the theory as
well as efficient use of the methods in applications.
Last update: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (15.01.2019)
Předmět je věnován matematickému základu maticových iteračních metod, zejména metod krylovovských podprostorů, v souvislostech s oblastmi matematiky a informatiky, které jsou důležité pro porozumění základních principů a
současného stavu poznání. Bude formulovat otevřené otázky a vysvětlovat existující obecně rozšířená nedorozumění jdoucí napříč obory, která brání jak hlubšímu porozumění a rozvoji teorie, tak efektivnímu používání metod v aplikacích.
Aim of the course -
Last update: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. (22.12.2022)
Using the Krylov subspace methods case study, the course aims at helping students in developing the ability of seeing the whole context, in asking themselves questions and
in seeking deep interconnections and overcoming narrowly specialized sights that restrict so much needed communication across the fields. Therefore the course will combine formulation and addressing questions in infinite dimensional Hilbert spaces using elements of linear functional analysis and spectral theory of operatots with traditional matrix approach. The course will also require self-study reading of selected publications followed by discussion.
Last update: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. (22.12.2022)
Cílem je pomoci studentům rozvíjet na příkladu studia Krylovovských metod schopnost vidění celeho kontextu, kladení si otázek, hledání hlubokých souvislostí a překonávání úzce specializovaného pohledu, který omezuje v tolik potřebnou komunikaci mezi jednotlivými obory. Proto budou kombinovány formulace a řešení otázek v nekonečně dimenzionálních Hilbertových prostorech s použitím elementů lineární funkcionální analýzy a spektrální teorie operátorů s tradičním maticovým přístupem. Součástí výuky bude samostatné čtení vybraných publikací s jejich následnou diskusí.
Literature -
Last update: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (15.01.2019)
J. Liesen, Z. Strakoš, Krylov Subspace Methods, Principles and Analysis, Oxford University Press, Oxford, 2013.
J. Málek, Z. Strakoš, Preconditioning and the Conjugate Gradient Method in the Context of Solving PDEs, SIAM, Philadelphia, 2015.
Last update: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (15.01.2019)
J. Liesen, Z. Strakoš, Krylov Subspace Methods, Principles and Analysis, Oxford University Press, Oxford, 2013.
J. Málek, Z. Strakoš, Preconditioning and the Conjugate Gradient Method in the Context of Solving PDEs, SIAM, Philadelphia, 2015.
Requirements to the exam -
Last update: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. (09.03.2021)
There will be oral exam consisting of discussion of topics of the course in the extent given by the course lectures.
Last update: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. (09.03.2021)
Zkouška bude pouze ústní a bude provedena diskusí studovaných témat v rozsahu odpovídajícím přednášce.
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D. (19.12.2018)
The course will cover primarily projection methods and, in particular, Krylov subspace methods in relation to the problem of moments and related issues. The emphasis will be on interconnections between the relevant topics from various disciplines, including the elements of numerical solution of partial differential equations, approximation theory and functional analysis.
Tentative content:
1. Projection processes.
2. Krylov subspaces.
3. Basic methods.
4. Stieltjes moment problem.
5. Orthogonal polynomials, continued fractions, Gauss-Christoffel quadrature and model reduction .
6. Matrix representation and the method of conjugate gradients.
7. Vorobyev method of moments and non-symmetric generalizations.
8. Non-normality and spectral information.
Last update: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. (22.12.2022)
Přednáška se zaměřuje na projekční metody, zvláště pak na metody založené na krylovovských podprostorech, jejich vztah k problému momentů a související otázky. Důraz bude kladen na propojení s příslušnými tématy pocházejícími z různých disciplín, včetně numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic, teorie aproximace a funkcionální analýzy.
1. Projekční procesy.
2. Matematická charakterizace metod krylovovských podprostorů.
3. Odvození základní metody.
4. Stieltjesův problém momentů.
5. Ortogonalní polynomy, řetězové zlomky, Gauss-Christoffelova kvadratura a redukce modelu.
6. Maticová reprezentace a metoda sdružených gradientů.
7. Vorobjevův problém momentů a zobecnění na nesymetrický případ.
