Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (11.06.2021)
A basic course in functional analysis focusing on applications of general theory in the context of the theory of partial
differential equations.
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (11.06.2021)
Základní kurs funkcionální analýzy zaměřený na aplikace obecné teorie v kontextu teorie parciálních diferenciálních
rovnic.
Literature -
Last update: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc. (18.01.2022)
A. Bressan, Lecture notes on functional analysis: with applications to linear partial differential equations, American Mathematical Society, Providence, 2013
Ph. Ciarlet, Linear and nonlinear functional analysis with applications. SIAM, Philadelphia, 2013
A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional nalysis, Dover publications, 1999
Last update: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc. (18.01.2022)
A. Bressan, Lecture notes on functional analysis: with applications to linear partial differential equations, American Mathematical Society, Providence, 2013
Ph. Ciarlet, Linear and nonlinear functional analysis with applications. SIAM, Philadelphia, 2013
A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional nalysis, Dover publications, 1999
J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy, skripta, Karolinum, Praha, 1998
Syllabus -
Last update: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc. (14.01.2022)
An introductory course to functional analysis focused on the extension of the results of linear algebra to infinite-dimensional spaces and
on applications of general theoretical results within partial differential equations.
1. Introduction
Finite-dimensional vector spaces and linear representations (summary). Function spaces, metric spaces, normed spaces. Banach and Hilbert spaces.
Compactness in finite-dimensional and infinite-dimensional spaces.
2. Linear operators
Continuous linear operators, examples. Hahn-Banach theorem and its consequences. Dual spaces, weak and weak-* convergence. Reflexive spaces. Banach-Alaoglu theorem.
3. Bounded linear operators
Principle of uniform boundedness, open mapping theorem and closed graph theorem. Adjoint operator, compact operator.
4. Hilbert spaces
Orthogonal projections, Riesz representation theorem. Lax-Milgram lemma and its application in the theory of partial differential equations. Introduction to Sobolev spaces. Compact operators.
Last update: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc. (14.01.2022)
Základní kurs funkcionální analýzy zaměřený na aplikace obecné teorie v kontextu teorie parciálních diferenciálních rovnic.
1. Úvod
Opakování důležitých poznatků o konečně dimenzionálních vektorových prostorech a lineárních zobrazeních. Prostory funkcí, metrický prostor, normovaný prostor. Banachovy a Hilbertovy prostory.
Otázka kompaktnosti v konečnědimenzionálních a nekonečnědimenzionálních prostorech.
2. Lineární operátory
Spojité lineární operátory, příklady. Hahn-Banach věta a její důsledky. Duální prostory, slabá a slabá-* konvergence. Reflexivní prostory. Banach-Alaoglu věta.
3. Omezené lineární operátory
Princip stejnoměrné omezenosti, věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Adjungovaný operátor, kompaktní operátor.
4. Hilbertovy prostory
Ortogonální projekce, Rieszova věta o reprezentaci. Lax-Milgram lemma a jeho aplikace v teorii parciálních difereniciálních rovnic. Úvod do Sobolevových prostorů. Kompaktní operátory.
