An introductory course in functional analysis. Not equivalent to the course NMMA331.
Last update: doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc. (02.05.2019)
Základní kurs funkcionální analýzy. Bez prerekvizit. Není ekvivalentní předmětu NMMA331 Úvod do funkcionální
analýzy.
Course completion requirements -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)
The course is taught in Czech, so see the Czech version.
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)
Pravidla pro akademický rok 2022/2023:
Předmět je zakončen zápočtem a zkouškou.
Před skládáním zkoušky je třeba získat zápočet.
Zápočet bude udělen za úplné a správné vyřešení tří domácích úkolů a za předvedení správného řešení dohodnutého spíše teoretického příkladu na cvičení.
V případě, že odevzdané řešení domácího úkolu nebude úplné a správné, je třeba odevzdat opravu, přičemž počet iterací není a priori omezen.
Podrobné podmínky včetně popisu technického provedení jsou uvedeny na webu přednášejícího.
Literature - Czech
Last update: G_M (27.04.2012)
Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)
M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)
J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)
J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)
J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)
L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)
K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)
I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)
P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)
W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)
W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)
J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)
A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)
Requirements to the exam -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)
The course is taught in Czech, so see the Czech version.
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)
Podmínky pro akademický rok 2022/2023:
Zkouška má dvě části - písemnou a ústní. K tomu, aby student mohl skládat ústní část, musí úspěšně absolvovat písemnou část. Pokud student neuspěje u zkoušky a má právo na opravný termín, zvolí si, zda si při opravném termínu nechá uznat již složenou písemnou část s dosaženým počtem bodů nebo zda bude skládat celou zkoušku včetně písemné. Pokud zvolí druhou možnost, k výsledku
dříve složené písemné část se již nepřihlíží.
Písemná část zkoušky bude obsahovat početní příklady z látky probírané v průběhu semestru.
Při ústní části si student vylosuje sadu otázek, která bude obsahovat znění a důkazy vět z přednášky a problém řešitelný metodami vyloženými během semestru.
Podrobnější podmínky, vzorové příklady, seznamy otázek atp. budou zveřejněny na webu přednášejícího.
Syllabus -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)
1. Banach and Hilbert spaces
normed spaces, spaces with inner product, examples of Banach spaces
continuous linear mappings - characterization, norm, space of operators
convergence of series in Banach spaces
Hilbert spaces - orthonormal systems, orthonormal basis, Riesz-Fischer etc.
finite-dimensional vs infinite-dimensional spaces
real spaces vs. complex spaces
2. Duality and Hahn-Banach theorem
Hahn-Banach theorem and its consequences
separation of convex sets
canonical embedding into second dual and reflexive spaces
representation of dual spaces to classical Banach spaces
wead (and weak*) convergence of sequences (definition, comparision, examples, characterization in classical spaces)
choice of weakly convergent subsequences in reflexive spaces (and weak*-converent subsequences in duals of separable spaces)
3. Operators on Banach spaces
Principle of uniform boundedness, Banach-Steinhaus and consequences
Open mapping theorem and Closed graph theorem
Quotient, projection, complementability
Dual operators, duality of subspaces and quotients
Adjoint operators between Hilbert spaces
Spectrum of operators
Compact operators - definition, properties, structure of the spectrum
Selfadjoint compact operators on Hilbert space
4. Fourier transformation
Definition and properties of Fourier transformation on L_1
Schwartz space and Fourier transformation on it
Inverse theorem
Plancherel transformation on L_2
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)
1. Banachovy a Hilbertovy prostory
normované prostory, prostory se skalárním součinem, příklady Banachových prostorů
spojitá lineární zobrazení - charakterizace, norma, prostor operátorů
konvergence řad v Banachových prostorech
Hilbertovy prostory - ortonormální systémy, ortonormální báze, Riesz-Fischer atp.
prostory konečné dimenze vs. prostory nekonečné dimenze
reálné prostory vs. komplexní prostory
2. Dualita a Hahn-Banachova věta
Hahn-Banachova rozšiřovací věta a její důsledky
oddělování konvexních množin
kanonické vnoření do druhého duálu a reflexivní prostory
vybírání slabě konvergentních podposloupností v reflexivních prostorech (případně slabě*-konvergentních podposloupností v duálech separabilních prostorů)
3. Operátory na Banachových prostorech
Princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhaus a jeho důsledky
Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu
Kvocient, projekce, komplementovanost
Duální operátory, dualita podrostorů a kvocientů
Adjungované operátory mezi Hilbertovými prostory
Spektrum operátoru
Kompaktní operátory - definice, vlastnosti, struktura jejich spektra
Samoadjungované kompaktní operátory na Hilbertově prostoru
4. Fourierova transformace
Definice a vlastnosti Fourierovy transformace na L_1
Schwartzův prostor a Fourierova transformace na něm
Věta o inverzi
Plancherelova transformace na L_2
Entry requirements -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)
The lecture requires previous fair knowledge from mathematical analysis (Mathematical analysis 1-3, metric spaces from Mathematical analysis 4), linear algebra (mainly vector spaces and linear mappings, with emphasis on infinite-dimensional spaces), and Theory of measure and integral.
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (12.09.2022)
Předmět vyžaduje předchozí solidní znalosti z matematické analýzy (Matematická analýza 1-3, metrické prostory z Matematické analýzy 4), lineární algebry (především vektorové prostory a lineární zobrazení, s důrazem na nekonečnědimenzionální prostory) a Teorie míry a integrálu.