Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (14.05.2019)
Modular forms and L-functions are central objects in modern number theory,
which played an important role in the proof of Fermat's Last Theorem. They
are certain complex functions encoding information of number-theoretic
interest, e.g., about the distribution of prime numbers, or numbers of
solutions of diophantine equations. Combining analytic and algebraic
methods, the course will cover their basic properties and some
applications. Specific choice of topics will depend on the interests of
participants.
The course may not be taught every academic year.
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (14.05.2019)
Modulární formy a L-funkce jsou centrálními objekty v moderní teorii čísel, které hrály důležitou roli v důkazu velké
Fermatovy věty. Jde o jisté komplexní funkce kódující zajímavé číselně-teoretické informace, např. o rozložení
prvočísel, nebo počty řešení diofantických rovnic. Přednáška pokryje jejich základní vlastnosti a některé z aplikací
za kombinace analytických a algebraických metod. Konkrétní volba probraných témat bude záviset na zájmu
posluchačů.
Předmět nemusí být vyučován každý rok, je vyučován alespoň jednou za dva roky.
Literature -
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)
J. S. Milne: Modular Functions and Modular Forms,
S. Lang: Algebraic Number Theory, Second Edition, GTM, Springer 1994
F. Diamond, J. Shurman: A First Course in Modular Forms, GTM, Springer 2005
D. Bump: Automorphic Forms and Representations, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55 (1998)
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)
J. S. Milne: Modular Functions and Modular Forms,
S. Lang: Algebraic Number Theory, Second Edition, GTM, Springer 1994
F. Diamond, J. Shurman: A First Course in Modular Forms, GTM, Springer 2005
D. Bump: Automorphic Forms and Representations, Cambridge Studies in
Advanced Mathematics 55 (1998)
Requirements to the exam -
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (28.10.2019)
Students have to pass final oral exam. The requirements for the exam correspond to what has been done during lectures.
Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (05.10.2017)
Zkouška bude ústní s 30-60 minutami na přípravu jedné nebo dvou otázek, odpovídajících probrané látce na přednáškách.
Syllabus -
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)
Riemann surfaces
Upper half plane and SL(2, R)
Elliptic functions
Modular forms
Eisenstein's series, Ramanujan's tau function
Hecke operators
Zeta function and Dirichlet L-functions
Analytic continuation and functional equation
Theta functions
L-functions of modular forms and elliptic curves
FLT and modularity theorem
Last update: doc. Mgr. et Mgr. Jan Žemlička, Ph.D. (10.05.2017)