Invariants of classical groups will be studied, mainly those induced by
actions on vector spaces. Invariants are traces of endomorphisms or
determinants. Hereby we mean that these objects are invariants with
respect to the adjoint action of the appropriate general linear group. In
the application of the theory, we focus to the case of polynomial
invariants of binary n-ics, i.e., invariant polynomials defined on the
space of polynomials P^n(C^2). The discriminant of a binary quadric is an
example of such an invariant for n = 2.
Last update: T_MUUK (13.05.2015)
Budou zkoumány invarianty akcí klasických grup. Půjde především akce, jenž
jsou indukovány reprezentacemi příslušných grup na vektorových prostorech.
Invariantem v tomuo užším konextu rozumíme zobrazení z vektorového
prostoru do jiného vektorového prostoru. Typickými příklady jsou např.
stopa endomorfizmu A z End(V) nebo determinant. V aplikacích s zaměříme
především na polynomiální invarianty tzv. binárních n-ik, tedy na
invaraiantní polynomy definované na prostoru polynomu P^n(C^2).
Determinant je příkladem invariantu v případě binárních kvadrik.
Aim of the course -
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
Study of invariants for classical groups
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
Naučit základy teorie invariantů pro tzv. klasické grupy.
Course completion requirements - Czech
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Podmínky pro udělení zápočtu - referát.
Literature -
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
Weyl, H., Quantumtheorie und Gruppenlehre
Goodman, R., Walalch, N., Representations and Invariants of the Classical Groups,
Griffiths, Harris, Representation theory
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
Weyl, H., Quantumtheorie und Gruppenlehre
Goodman, R., Walalch, N., Representations and Invariants of the Classcial Groups,
Griffiths, Harris, Representation theory
Teaching methods -
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Lecture notes prepared by the lecturer.
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Studijní text k přednášce, poskytnutý přednášejícím.
Requirements to the exam -
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Examination is written, its aim is to test the knowledge of the material contained in the lecture notes prepared by the lecturer.
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (05.05.2020)
Zkouška je písemná,známka se stanoví na základě bodového ohodnocení písemné zkoušky. Cílem písemné zkoušky je ověřit znalost předmětu v rozsahu studijního textu, který
připravil přednášející.
Syllabus -
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
1) Linear algebraic groups, classical groups and their Lie algebras, real forms of complex algebraic groups.
2) Regular and locally regular representations.
3) Classification of irreducible representations of classical groups using highest weights, complete reducibility.
4) Fourier analysis on the group algebra of a finite group, classification of irreducible representations of the group of permutations.
5) Representations of associative algebras, double commutant theorm.
6) Invariants for GL, SO and Sp groups.
Last update: prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. (01.03.2020)
1) Lineární algebraické grupy, klasické grupy a jejich Lieovy algebry, reálné formy komplexních algebraických grup.
2) Regulární a lokálně regulární reprezentace lineárních algebraických grup.
3) Klasifikace ireducibilních representací klasických grup pomocí nejvyšších vah, úplná rozložitelnost jejich representací.
4) Fourierova analýza na grupové algebře konečné grupy, klasifikace ireducibilních representací grupy permutací.
5) Representace asociativních algeber, věta o dvojím komutantu.
6) Klasická teorie invariantů pro GL(V), O(V) a Sp(V). Howeovy duality, Schur-Weylova dualita
6) GL, SO, Sp-invarianty a jejich kombinatorika
Entry requirements -
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (11.06.2021)
Linear algebra, analysis on manifolds, basics of Lie algebras.
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (11.06.2021)
Lineární algebra, analýza na varietách, základy Lieových grup a algeber.
