Applied mathematics IV - NMAF074

• Title: Aplikovaná matematika IV
• Guaranteed by: Department of Condensed Matter Physics (32-KFKL)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2016 to 2016
• Semester: summer
• E-Credits: 7
• Hours per week, examination: summer s.:3/3, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: Mgr. Lukáš Krump, Ph.D.

Annotation

English

Last update: Mgr. Kateřina Mikšová (23.04.2018)

Basic course on Mathematical Analysis for students of second year of Applied Physics.

Czech

Last update: Mgr. Kateřina Mikšová (23.04.2018)

Základní kurz z matematické analýzy pro studenty 2. ročníku oboru Aplikovaná fyzika.

Literature

English

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (05.02.2018)

Kopáček, J. a kol.: Matematika pro fyziky, díly IV-V, skriptum MFF UK

Syllabus

English

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (01.10.2017)

1. Partial differential equations

• Classification of PDE's and basic types: elliptic, parabolic and hyperbolic.

2. Basic properties of distributions.

• The Schwartz space and tempered distributions, the derivation of a distribution,

• Linear combination of distributions and multiplication by functions.

3. Fourier transform

• Fourier transform, basic properties, FT and derivation, FT and convolution.

• The inversion theorem.

• Fourier transformation for distributions.

• Application to ODE's and PDE's.

4. Laplace transform

• Basic properties of the Laplace transform.

• Inversion formula, application of residue theorem.

• Application to PDE's with initial condictions

5. Laplace a Poisson equation, the heat equation, the wave equation

• Laplace-­Poisson equation, the elementary solution, solution on a ball, solution on a half­plane, Dirichlet problem

• Heat equation, Cauchy problem, Green function of the problem.

• Heat equation on a half­line, on a rod, on a ball.

• Wave equation, its elementary solution in one dimension.

• D'Alembert formula.

6. Special functions

• Gamma a Beta function and its application.

• Bessel functions, cylindrical functions, Bessel equation.

• Hypergeometric series.

Czech

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (01.10.2017)

1. Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace

• Pojem PDR, klasifikace a základní typy eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice.

2. Základní vlastnosti distribucí

• Distribuce, temperované (Schwartzovy) distribuce a základní operace s nimi,

• zejména derivování a základní typy konvoluce.

• Násobení distribuce funkcí, lineární transformace distribucí.

3. Fourierova transformace

• Fourierova transformace pro funkce z L1(Rn), vztah F.T. a derivace, F.T. a konvoluce.

• Věta o inverzi pro Fourierovu transformaci.

• Rozšíření Fourierovy transformace do temperovaných distribucí - pouze základní fakta.

• Základní použití F.T. pro řešení ODR a PDR.

4. Laplaceova transformace

• Laplaceova transformace pro funkce a její základní vlastnosti.

• Věta o inverzi, použití residuové věty.

• Použití L.T. na řešení ODR s počátečními podmínkami.

5. Laplaceova a Poissonova rovnice, rovnice vedení tepla, vlnová rovnice

• Laplaceova-Poissonova rovnice, elementární řešení, řešení na kouli,

• řešení pro polorovinu. Dirichletova úloha.

• Rovnice vedení tepla, Cauchyova úloha, Greenova funkce úlohy.

• Vedení tepla na polopřímce a na úsečce (na tyči), na kouli.

• Vlnová rovnice, nalezení elementární vlnové funkce v jedné prostorové dimenzi,

• d'Alembertův vzorec. Vlnový kužel a konečná rychlosti šíření informací.

• Elementární vlnová funkce ve dvou a třech dimenzích, jednovrstva a dvojvrstva.

6. Speciální funkce

• Funkce Gamma a Beta a jejich použití při výpočtech.

• Besselovy funkce, cylindrické funkce, Besselova rovnice.

• Hypergeometrické řady.