This one-semestral course is a continuation of the basic two year course on analysis and linear algebra for physicists.
Last update: G_F (22.05.2008)
Tato semestrální přednáška navazuje na základní dvouletý kurs matematické analýzy a lineární algebry pro fyziky.
Aim of the course -
Last update: T_KMA (13.05.2008)
This one-semestral course is a continuation of the basic two year course on analysis and linear algebra for physicists.
Last update: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc. (13.10.2018)
Tato semestrálni přednáška navazuje na základní dvouletý kurs matematické analýzy a lineární algebry pro fyziky.
Literature - Czech
Last update: PaedDr. Jan Kuchař (04.10.2016)
P. Čihák a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), Matfyzpress, Praha, 2001, 320 str.
P. Čihák, J. Čerych, J. Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky V, Matfyzpress, Praha, 2002, 306 str.
I. M. Gel'fand, G. E. Šilov: Obobščenyje funkcii i dejstvija nad nimi, Moskva, 1958, 439 str.
L. Hormander: The analysis of linear partial differential operators I, Springer 1983,391 str.
Teaching methods - Czech
Last update: prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. (28.09.2020)
přednáška + cvičení
Syllabus -
Last update: T_KMA (13.05.2008)
1. Laplace transform of functions
Definition and basic properties. Inversion theorems, application to intial promblems in ODEs.
2. Special functions
Gamma and beta funcions, Bessel functions. Gauss integration, hypergeometrical series.
3. Theory of distributions
Distributions, tempered distributions, (Dirac, vp and Pf distributions). Distributional calculus (multiplication by a smooth function, tensor product, convolution, differentiation, linear transformation). Convergence of distributions, distributions with parameter, Fourier and Laplace transform of distributions and its applications: derivative, convolution, tensor product. Convolution equations, fundamental solution. Fourier transform of periodical functions and distributions, Fourier series of periodical distributions.
4. Applications of theory of distributions
Laplace-Poisson equation:uniqueness, existence, Liouville theorem. Theorem of three potentials. Dirichlet problem and its solution. Use of conformal mappings to obtain solution in two dimensional domain. Heat equation: fundamental solutions, solutions with data. Heat waves, cooling of the ball. The wave equation: fundamental solutions, solutions with data.
Last update: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc. (14.10.2018)
1. Laplaceova transformace funkcí
Definice Laplaceovy transformace pro funkce, vlastnosti Laplaceovy transformace. Věta o inverzi, použití residuové věty. Použití L.T. na řešení ODR s počátečními podmínkami.
2. Speciální funkce
Funkce Gamma a Beta a jejich použití při výpočtech. Besselovy funkce, cylindrické funkce, Besselova rovnice, asymptotika Besselových funkcí, generující funkce, rekurentní formule. Hypergeometrické řady a s nimi související kalkulus.
3. Úvod do teorie distribucí
Distribuce, temperované (Schwartzovy) distribuce, funkce jako distribuce, rovnost distribucí, konvergence distribucí, regulární a neregulární distribuce. Derivování distribucí, záměnnost pořadí derivování, derivování funkce se skoky, fundamentální řešení ODR a PDR, Laplaceův operátor pro sféricky symetrické funkce, fundamentální řešení Laplaceovy rovnice.Násobení distribuce funkcí, lineární transformace distribucí. Fourierova transformace temperovaných distribucí, F.T. Diracovy distribuce, konstant, cplx. exponenciál, sinu a kosinu. F.T. sudé distribuce. Vztah derivace a F.T. distribucí, F.T. distribuce s kompaktním nosičem. Plošná distribuce, výpočet F.T. sféricky symetrických funkcí. Spojitost F.T., inverzní F.T. Laplaceova transformace distribucí, vztah L.T. a derivování. Věta o inverzi pro Laplaceovu transformaci, inverzní formule pro holomorfní funkce s maximálně polynomiálním růstem. Aplikace: řešení elektrických obvodů pomocí Laplaceovy transformace. Konvergence distribucí, řady distribucí, vzorkovací distribuce. Distribuce s parametrem, tenzorový součin distribucí a jeho F.T., distributivní Fubiniho věta, konvoluce funkcí a distribucí, derivování jako konvoluce. Vztah konvoluce a Fourierovy (Laplaceovy) transformace. Fourierovy řady a periodické distribuce.
4. Aplikace teorie distribucí
Rovnice vedení tepla, Cauchyova úloha pro rovnici vedení tepla, nalezení Greenovy funkce úlohy s počáteční podmínkou pomocí F.T. Vedení tepla na polopřímce a na úsečce (na tyči), na kouli. Vlnová rovnice, Cauchyova úloha s dvojicí počátečních podmínek. Nalezení elementární vlnové funkce v jedné prostorové dimenzi, d'Alembertův vzorec. Vlnový kužel a konečná rychlosti šíření informací. Odvození elementární vlnové funkce ve dvou a třech dimenzích, plošná distribuce, jednovrstva a dvojvrstva. Laplaceova-Poissonova rovnice, řešení na celém prostoru a řešení na oblasti s hranicí. Zadávání okrajových podmínek na hranici, Dirichletova a Neumannova podmínka, smíšená podmínka. Problémy jednoznačnosti, příklady na nejednoznačná řešení. Elementární řešení, řešení na kouli, řešení pro polorovinu.
