Equations of Mathematical Physics and Distribution Theory - NMAF008

• Title: Rovnice matematické fyziky a teorie distribucí
• Guaranteed by: Laboratory of General Physics Education (32-KVOF)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2022
• Semester: winter
• E-Credits: 10
• Hours per week, examination: winter s.:5/2, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: cancelled
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Teaching methods: full-time
• Class: Fyzika
• Classification: Physics > Mathematics for Physicists

Annotation

English

Last update: T_KMA (15.05.2001)

The aim of the course is derivation of formulas for solutions of equations of mathematical physics and demonstration of correct mathematical methods for solving equations, based on the theory of distributions and spectral theory of operators.

Czech

Last update: T_KMA (15.05.2001)

Cílem přednášky je odvození formulí pro řešení rovnic matematické fyziky různými metodami (bez důrazu na matematickou korektnost) a ukázka korektních matematických metod založených na teorii distribucí a spektrální teorii operátorů. Alternativní přednáška k MAF005

Literature

Last update: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (05.08.2002)

Blank J., Exner P., Havlíček M.: Lineární operátory v kvantové fyzice

Čihák P.: Matematika pro fyziky III (studijní text, skripta)

Čihák P., Kopáček J.: Příklady z matematiky pro fyziky V. (skripta)

Doktor P., John O., Kopáček J.: Příklady z matematické analýzy VI. (skripta)

Evans L.C.: Partial Differential Equations

John O., Nečas J.: Rovnice matematické fyziky (skripta) Lebeděv N.N.: Speciální funkce a jejich použití

Schwartz L.: Matematické metody ve fyzice

Vladimirov V.S.: Uravněnija matěmatičeskoj fiziki

Zeidler E.: Applied Functional Analysis

Syllabus

English

Last update: T_KMA (22.05.2003)

The aim of the course is derivation of formulas for solutions of equations of mathematical physics and demonstration of correct mathematical methods for solving equations, based on the theory of distributions and spectral theory of operators.

Czech

Last update: T_KMA (15.05.2001)

Osnova:

1. Rovnice 1. řádu (zákon zachování, Hamilton-Jacobiho rovnice) lineární a nelineární. Metoda charakteristik, rázové vlny, pojem slabého řešení.

2. Fourierova metoda (tj. metoda rozdělení proměnných) pro lineární PDR s konstantními koeficienty. Použití Fourierových řad, Besselových funkcí, Legendreových polynomů pro řešení rovnic (rozložení tepla, vedení tepla, vlnová) na omezených oblastech, s počátečními a okrajovými podmínkami.

3. Teorie distribucí. Použití Fourierovy transformace, fundamentálního řešení (lineární PDR s konstantními koeficienty) pro řešení rovnic (rozložení tepla, vedení tepla, vlnová) na neomezeněch oblastech R^N, s počátečními podmínkami; potenciály: objemový, povrchový jednoduché vrstvy a dvojvrstvy, tepelný, retardovaný. Integrální a konvoluční rovnice, řešení RLC obvodů pomocí Heavisideova symbolického počtu nebo Laplaceovy transformace.

4. Teorie potenciálu. Vlastnosti harmonických funkcí. Metoda Greenovy funkce pro řešení eliptických rovnic s okrajovou podmínkou (Sturm-Liouvilleova, Laplaceova) na kruhu, poloprostoru.

5. Spektrální teorie operátorů (lineárních neomezených samoadjungovaných). Spektrum, rozklad operátoru do diagonálního tvaru. Matematické odůvodnění Fourierovy metody. Interpretace v kvantové mechanice, Hamiltonův operátor.

6. Teorie semigrup (lineární), Stoneova věta. Řešení rovnic (vedení tepla, vlnová, Schrödingerova).

7. Sobolevovy prostory. Poznámky o metodách řešení nelineárních rovnic. Metoda pevného bodu a postupné aproximace, variační metoda a minimizace energie, cestující vlny a solitony.