Selected Topics on Mathematics for Physicists - NMAF006

• Title: Vybrané partie z matematiky pro fyziky
• Guaranteed by: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2019
• Semester: summer
• E-Credits: 3
• Hours per week, examination: summer s.:2/0, Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Teaching methods: full-time
• Additional information: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/index.htm
• Guarantor: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc.
• Classification: Physics > Mathematics for Physicists
• Comes under: Doporučené přednášky 1/2

Annotation

English

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (18.02.2013)

An introduction to functional analysis, operator theory and special functions for physicists. It is the sequel to the basic 5-semester course of mathematics for physicists.

Czech

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (18.02.2013)

Elementy funkcionální analýzy, operátorového počtu a speciálních funkcí pro fyziky. Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky.

Course completion requirements

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (22.02.2020)

Zkouška z předmětu je pouze ústní. Každý uchazeč si vylosuje dvě otázky ze seznamu cca 14 otázek, který bude k dispozici ke konci semestru, obecně vždy na příslušném odkazu na stránce http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/index.htm. Otázky pokrývají přednesenou látku. Odpovědi na otázky si bude možno připravit (cca 20 minut).

Literature

English

Last update: T_KMA (15.05.2008)

J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, skriptum MFF UK, Karolinum, 1998

P. Čihák, M.Rokyta a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), skriptum MFF UK, Matfyzpress 2003

K. Najzar: Funkcionální analýza, skriptum MFF UK, SPN, 1981

Syllabus

English

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (07.05.2018)

1. Basic facts on operators
Banach and Hilbert spaces. Operators and functionals, linear and nonlinear. Boundedness, continuity. Operator norm. Von Neumann series.

2. An introduction to spectral analysis
Eigenvalues, spectrum, resolvent set, spectral radius.

3. Compact operators
Compact operators, spectrum.

4. Dual and adjoint operators
Duality, dual operatost, dual spaces, representation theorems. Adjoint and self-adjoint operator, Hermite operator, their spectrum. Eigenfunction bases.

5. Unbounded operators.
Unbounded operator, closed operator. Differential operators.

6. Special functions and polynomials
Bases in Hilbert space, polynomial bases. Recurrent formulas for orthogonal polynomials. Special functions: Legendre, Laguerre, Hermite polynomials, hypergeometric series.

Czech

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (07.05.2018)

1. Operátorová trivia
Banachův a Hilbertův prostor. Operátory a funkcionály. Omezenost, spojitost, linearita. Operátorová norma. Von Neumannova řada operátoru.

2. Základy spektrální analýzy
Vlastní čísla operátoru, spektrum, resolventní množina, bodové, spojité a reziduální spektrum. Spektrální poloměr. Stavy operátoru.

3. Kompaktní operátory
Kompaktní operátory. Spektrum kompaktního operátoru. Stavy kompaktního operátoru.

4. Duálnost a adjungovanost
Duální operátory a prostory, dualita. Rieszova věta. Adjungovaný operátor, samoadjungovaný operátor. Báze složená z vlastních vektorů.

5. Neomezené operátory
Neomezené operátory. Uzavřený operátor, prostota, spektrum. Definiční obor neomezeného operátoru. Diferenciální operátory.

6. Speciální polynomy a funkce
ON báze v Hilbertově prostoru, složená z polynomů. Každý systém ortogonálních polynomů musí mít nějaký rekurentní vzorec. Speciální funkce: polynomy Legendreovy, Laguerrovy, Hermitovy, hypergeometrické řady.

Entry requirements

Last update: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (07.05.2018)

Znalosti na úrovni čtyřsemestrálního kurzu z matematiky resp. matematické analýzy pro fyziky.