Introductory lectures on basic properties of regular and chaotic motion in classical hamiltonian autonomous systems, on the semiclassical quantization of classical chaotic systems and on the spectral properties of random matrix ensembles. Good knowledge of the basis of classical and quantum mechanics is required.
Last update: T_UCJF (19.01.2007)
Úvodní přednáška seznamující posluchače se základními vlastnostmi
regulárních a chaotických pohybů v klasických hamiltonovských autonomních
systémech, se semiklasickým kvantováním klasických chaotických systémů
a
se spektrálními vlastnostmi souborů náhodných matic. Přednáška
předpokládá znalost základů klasické teoretické a kvantové mechaniky.
Literature - Czech
Last update: T_UCJF (19.01.2007)
Gutzwiller: Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer, New York 1990
Reichl: The Transition to Chaos in Conservative Classical Systems: Quantum Manife- stations, Springer, New York 1992 Tabor: Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, Wiley, New York 1989
Syllabus -
Last update: T_UCJF (19.01.2007)
Classical Hamiltonian systems. Conditions of integrability. Regularity of motion of integrable systems. Actions and angles, periodical and quasiperiodical trajectories, rational and irrational tori. Poincare surface of section. Examples: Kepler problem, Toda lattice.
Perturbations of integrable systems. Convergency of perturbation series. Problem of small denominators. Sufficiently irrational tori. The Kolmogorov-Arnold-Moser theorem. Fate of rational tori. The Birkhoff fixed-point theorem. Stable and instable trajectories. Lyapounov exponents. Examples: Henon-Heiles system, Seligman-Verbaarschot-Zirnbauer system.
Correspondence between classical and quantum mechanics. Propagators as integrals over paths. Semiclassical quantization of classically chaotic systems. Level density as the Gutzwiller sum over the classical peridic orbits. Examples: anisotropic Kepler problem, hydrogen atom in homogeneous magnetic field.
Fluctuations of energy levels of quantum systems. Basic fluctuation measures: distribution of nearest-neighbor spacings, rigidity, number variance. Random matrix ensembles. Level fluctuations in GUE and GOE (Gaussian unitary ensemble, Gaussian orthogonal ensemble). The Bohigas-Giannoni-Schmit conjecture and its validity.
Literature:
M. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer 1990 F. Haake, Quantum Signatures of Chaos, 2nd ed., Springer 2001 L. Reichl, The Transition to Chaos in Conservative Classical Systems, Springer 1992 M. Tabor, Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, Wiley 1989
Last update: T_UCJF (19.01.2007)
Klasický hamiltonovský autonomní systém. Podmínky integrabilnosti. Regulárnost pohybu integrabilního systému: akce a úhly, frekvence, periodické orbity a kvasiperiodické trajektorie, racionální a iracionální torusy, zobrazení pohybu na Poincareho ploše řezu. Příklady (Keplerův systém, Todova mříž).
Porucha integrabilnosti: popis porušeného neintegrabilního systému pomocí poruchové teorie, problém malých jmenovatelů. Dostatečné a nedostatečné iracionální torusy, theorém Kolmogorova-Arnolda-Mosera. Zánik racionálních torusů. Zobrazení porušeného pohybu na Poincareho ploše řezu, theorém Poincareho-Birkhoffa, přežití dvojic periodických orbit. Stabilní a nestabilní trajektorie, Ljapunovovy exponenty. Příklady (systém Henona-Heilese, systém Seligmana-Verbaarschota -Zirnbauera).
Korespondence mezi klasickou a kvantovou mechanikou. Vyjádření časové Greenovy funkce Feynmanovým integrálem přes klasické cesty. Vztah mezičasovou Greenovou funkcí, energetickou Greenovou funkcí a hustotou energetických hladin systému. Semiklasická aproximace a přiblížení stacionární fáze. Vyjádření semiklasické časové a energetické Greenovy funkce Gutzwillerovou sumou přes klasické trajektorie. Gutzwillerova metoda semiklasického kvantování energií: hustota hladin jako Gutzwillerova suma přes klasické periodické orbity. Semiklasické kvantování klasicky chaotických systémů. Příklady (anisotropní Keplerův problém, vodíkový atom v homogenním magnetickém poli).
Obecné statistické charakteristiky rozdělení energetických hladin kvantových systémů: interval sousedů, delta3 statistika. Soubory náhodných hamiltonovských matic, statistické charakteristiky rozdělení energetických hladin pro gaussovské unitární a orthogonální soubory. Wignerova hypothesa, její testování srovnáním rozdělení hladin gaussovských souborů s rozdělením hladin v atomech a jádrech, možnosti jejího ověření metodami semiklasického kvantování klasicky chaotických systémů.
