Introductory lectures on basic properties of regular and chaotic motion in classical hamiltonian autonomous systems, on the semiclassical quantization of classical chaotic systems and on the spectral properties of random matrix ensembles. Good knowledge of the basis of classical and quantum mechanics is required.
Last update: ()
Úvodní přednáška seznamující posluchače se základními vlastnostmi
regulárních a chaotických pohybů v klasických hamiltonovských autonomních
systémech, se semiklasickým kvantováním klasických chaotických systémů
a
se spektrálními vlastnostmi souborů náhodných matic. Přednáška
předpokládá znalost základů klasické teoretické a kvantové mechaniky.
Course completion requirements -
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
The course is concluded with an oral examination.
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Předmět je zakončen ústní zkouškou.
Literature -
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Classical chaos:
Tabor M.: Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, Wiley, New York (1989).
Ott E.: Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press (1993).
Ozorio de Almeida A.M.: Hamiltonian Systems: Chaos and Quantization, Cambridge University Press (1988).
Pettini M: Geometry and Topology in Hamiltonian Dynamics and Statistical Mechanics, Springer, New York 2007.
Contopoulos G. et al.: Destruction of islands of stability, Journal of Physics A: Mathematical and General 32, 5213 (1999).
Meiss J.D.: Symplectic maps, variational principles, and transport, Review of Modern Physics 64, 795 (1992).
Skokos Ch.: The Lyapunov Characteristic Exponents and Their Computation, Lecture Notes in Physics 790, 63 (2010).
Quantum chaos:
Haake F.: Quantum Signatures of Chaos, Springer (2010).
Stöckmann H.-J.: Quantum Chaos: An Introduction, Cambridge University Press (1999).
Gutzwiller M.C.: Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer, New York 1990
Reichl L.E.: The Transition to Chaos: Conservative Classical Systems and Quantum Manifestations (2nd edition), Springer, New York (2004).
Bohigas O.: Random Matrix Theories and Chaotic Dynamics, Les Houches LII, ed. Gianonni M.-J., Voros A., Zinn-Justin J., North-Holland, Amsterdam (1991).
Random matrix theory:
Mehta M.L.: Random Matrices (3rd edition), Elsevier (2004)
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Klasický chaos:
Tabor M.: Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, Wiley, New York (1989).
Ott E.: Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press (1993).
Ozorio de Almeida A.M.: Hamiltonian Systems: Chaos and Quantization, Cambridge University Press (1988).
Pettini M: Geometry and Topology in Hamiltonian Dynamics and Statistical Mechanics, Springer, New York 2007.
Contopoulos G. et al.: Destruction of islands of stability, Journal of Physics A: Mathematical and General 32, 5213 (1999).
Meiss J.D.: Symplectic maps, variational principles, and transport, Review of Modern Physics 64, 795 (1992).
Skokos Ch.: The Lyapunov Characteristic Exponents and Their Computation, Lecture Notes in Physics 790, 63 (2010).
Kvantový chaos:
Haake F.: Quantum Signatures of Chaos, Springer (2010).
Stöckmann H.-J.: Quantum Chaos: An Introduction, Cambridge University Press (1999).
Gutzwiller M.C.: Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer, New York 1990
Reichl L.E.: The Transition to Chaos: Conservative Classical Systems and Quantum Manifestations (2. vydání), Springer, New York (2004).
Bohigas O.: Random Matrix Theories and Chaotic Dynamics, Les Houches LII, ed. Gianonni M.-J., Voros A., Zinn-Justin J., North-Holland, Amsterdam (1991).
Teorie náhodných matic:
Mehta M.L.: Random Matrices (3. vydání), Elsevier (2004)
Teaching methods -
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Theoretical lecture is combined with solving illustrative practical problems on computers ("hands-on")
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Kombinace přednášky s demonstracemi probrané teorie pomocí praktických úloh řešených na počítači.
Requirements to the exam -
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (28.04.2020)
The examination has an oral form. A student prepares a presentation of an article related to the subject of the course. The exam can be performed at a distance.
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (28.04.2020)
Zkouška má ústní formu. Ke zkoušce si student připraví prezentaci odborného článku týkajícího se probrané látky. Zkouška může probíhat dálkovou formou.
Syllabus -
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Classical Hamiltonian systems. Conditions of integrability. Regularity of motion of integrable systems. Actions and angles, periodical and quasiperiodical trajectories, rational and irrational tori. Poincare surface of section
Perturbations of integrable systems. Convergency of perturbation series. Problem of small denominators. Sufficiently irrational tori. The Kolmogorov-Arnold-Moser theorem. Fate of rational tori. The Birkhoff fixed-point theorem. Stable and instable trajectories. Lyapounov exponents, SALI and GALI methods.
Correspondence between classical and quantum mechanics. Propagators as integrals over paths. Semiclassical quantization of classically chaotic systems. Level density as the Gutzwiller sum over the classical peridic orbits.
Fluctuations of energy levels of quantum systems. Basic fluctuation measures: distribution of nearest-neighbor spacings, rigidity, number variance. Random matrix ensembles. Level fluctuations in GUE and GOE (Gaussian unitary ensemble, Gaussian orthogonal ensemble). Wigner surmise. Brody distribution. Scale invariance of a quantum spectrum and 1/f noise. Peres lattices. Bohigas-Giannoni-Schmit conjecture and its validity.
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Klasický Hamiltonovský autonomní systém. Podmínky integrability. Regulárnost pohybu integrabilního systému: akce a úhly, frekvence, periodické orbity a kvasiperiodické trajektorie, racionální a iracionální torusy, zobrazení pohybu na Poincareho řezu
Porucha integrability: popis porušeného neintegrabilního systému pomocí poruchové teorie, problém malých jmenovatelů. Dostatečné a nedostatečné iracionální torusy, teorém Kolmogorova-Arnolda-Mosera. Zánik racionálních torusů. Zobrazení porušeného pohybu na Poincareho ploše řezu, Poincareho-Birkhoffův teorém, přežití dvojic periodických orbit. Stabilní a nestabilní trajektorie, Ljapunovovy exponenty, metoda SALI a GALI. Stabilita systému pomocí metod Riemannovské diferenciální geometrie
Korespondence mezi klasickou a kvantovou mechanikou. Vyjádření časové Greenovy funkce Feynmanovým integrálem přes klasické cesty. Vztah mezi časovou Greenovou funkcí, energetickou Greenovou funkcí a hustotou energetických hladin systému. Semiklasická aproximace a přiblížení stacionární fáze. Vyjádření semiklasické časové a energetické Greenovy funkce Gutzwillerovou sumou přes klasické trajektorie. Gutzwillerova metoda semiklasického kvantování energií: hustota hladin jako Gutzwillerova suma přes klasické periodické orbity. Semiklasické kvantování klasicky chaotických systémů
Obecné statistické charakteristiky rozdělení energetických hladin kvantových systémů: vzdálenost sousedních hladin, Delta3 statistika, Sigma2 statistika. Gaussovský ortogonální, unitární a symplektický soubor náhodných Hamiltonovských matic, statistické charakteristiky rozdělení jejich energetických hladin. Wignerova hypotéza, její testování srovnáním rozdělení hladin Gaussovských souborů s rozdělením hladin v atomech a jádrech, možnosti jejího ověření metodami semiklasického kvantování klasicky chaotických systémů. Brodyho rozdělení. Škálová invariance kvantového spektra a 1/f šum. Zobrazení kvantového spektra pomocí Peresových mřížek
Entry requirements -
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Classical theoretical mechanics, quantum mechanics and programming at the level of undergraduate courses in physics
Last update: Mgr. Pavel Stránský, Ph.D. (07.06.2019)
Základy teoretické mechaniky, kvantové mechaniky a programování na úrovni kurzů bakalářského studia oboru fyzika.
