Newtonian and logarithmic potentials, potentials of simple bodies. Elliptic integrals, the potential of a rectangular parallelepiped and especially the potentials of an ellipsoid. Students will be acquainted with difficult multiple integrals which find numerous applications in physics, astronomy and geophysics. The subject may also be interesting for students of mathematics, since many famous mathematicians participated in solving the particular problems (Maclaurin, Lagrange, Laplace, Gauss, Jacobi and others).
Last update: T_KG (20.05.2002)
Newtonův a logaritmický potenciál, potenciál jednoduchých těles. Eliptické integrály, potenciál hranolu a zejména potenciály elipsoidu. Posluchači se seznámí s výpočty obtížných vícerozměrných integrálů, které nacházejí četné aplikace ve fyzice, astronomii a geofyzice. Předmět může být zajímavý i pro posluchače matematiky, protože se na řešení příslušných úloh podíleli přední matematikové (Maclaurin, Lagrange, Laplace, Gauss, Jacobi aj).
Aim of the course -
Last update: T_KG (11.04.2008)
Computing difficult multiple integrals that describe the potentials and intensities for regular homogeneous bodies, including ellipsoids. The lecture may represent an interest for students of geophysics, applied geophysics, astronomy, physics, and also as an extension of the integral calculus for mathematicians.
Last update: T_KG (11.04.2008)
Výpočty obtížných vícerozměrných integrálů, které popisují potenciály a intenzity pro pravidelná homogenní tělesa, včetně elipsoidů. Přednášku může být zajímavá pro studenty geofyziky, užité geofyziky, astronomie, fyziky, ale i jako rozšíření integrálního počtu pro matematiky.
Literature - Czech
Last update: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (05.08.2002)
O.D. Kellogg: Foundations of Potential Theory. Springer-Verlag, Berlin 1967 (prvně vydáno 1929).
R.Z. Muratov: Potencialy ellipsoida. Atomizdat, Moskva 1976.
M. Pick, J. Pícha, V. Vyskočil: Úvod ke studiu tíhového pole Země. Academia, Praha 1973.
Teaching methods -
Last update: T_KG (11.04.2008)
Lecture + exercises
Last update: T_KG (11.04.2008)
Přednáška + cvičení
Syllabus -
Last update: T_KG (20.05.2002)
1. Approaches to computing the intensity and potential of the gravitational, electrostatic and magnetostatic fields
Integral representation, Gauss' law, Laplace's and Poisson's equations. Gravitational and electrostatic field of a homogeneous sphere and spherical shell; examples of applications in physics, geophysics and astronomy. Homogeneous plate and straight line; non-existence of the Newtonian potential.
2. "Two-dimensional" bodies
Derivation of the formulae for the intensity and potential. Logarithmic potential and its relation to the Newtonian potential. Examples from applied geophysics.
3. Homogeneous circle
Expression of the potential in terms of an elliptic integral. Computing elliptic integrals by means of series and arithmetico-geometrical mean. Further applications: expansion of the period of the mathematical pendulum; gravitational field of a planetary ring; charged circular disc.
4. Homogeneous ellipsoid
Calculation of the gravitational field of a homogeneous triaxial ellipsoid for an inner point by Lagrange's method. Newton's theorem. Confocal ellipsoids. Ivory's theorem; field at an outer point. Gravitational field of an ellipsoid of revolution. Equilibrium figure of an rotating liquid; Maclaurin's and Jacobi's ellipsoids.
References:
O.D. Kellogg: Foundations of Potential Theory. Springer-Verlag, Berlin 1967 (first edition 1929).
M. Pick, J. Picha, V. Vyskocil: Theory of the Earth's Gravity Field. Academia, Prague 1973.
Last update: T_KG (20.05.2002)
1. Přístupy k výpočtu intenzity a potenciálu gravitačního, elektrostatického a magnetostatického pole
Integrální vyjádření, Gaussův zákon, Laplaceova a Poissonova rovnice. Gravitační a elektrostatické pole homogenní koule a kulové slupky, příklady použití ve fyzice, geofyzice a astronomii. Homogenní deska a přímka, neexistence Newtonova potenciálu.
2. "Dvojrozměrná" tělesa
Odvození vzorců pro intenzitu a potenciál. Logaritmický potenciál a jeho vztah k Newtonovu potenciálu. Příklady z užité geofyziky.
3. Homogenní kružnice
Vyjádření potenciálu ve tvaru eliptického integrálu. Výpočet eliptických integrálů pomocí řad a pomocí aritmeticko-geometrického průměru. Další aplikace: rozvoj pro dobu kmitu matematického kyvadla; gravitační pole prstence planety; nabitý kruhový disk.
4. Homogenní elipsoid
Výpočet gravitačního pole homogenního trojosého elipsoidu pro vnitřní bod Lagrangeovou metodou. Newtonova věta. Konfokální elipsoidy. Ivoryho věta, pole ve vnějším bodě. Gravitační pole rotačního elipsoidu. Rovnovážný tvar rotující kapaliny, Maclaurinovy a Jacobiho elipsoidy.
