At the start of the course we recall the Hartree–Fock approximation that, apart from the Pauli principle, neglects all
other correlations among particles. Using applications to a few simple systems we illustrate the accuracy as well
as the weaknesses of this approximation. For the ground state of the helium atom we construct a considerably
more accurate wave function that takes into account correlations among the two electrons and that still allows for
evaluation of the approximate ground-state energy by analytical means. Numerical methods will applied for
analogous correlated wave functions.
Last update: T_KFES (15.05.2014)
Přednáška navazuje na základní kurz kvantové mechaniky, kde výklad mnohočásticových systémů končí
Hartreeho– Fockovou aproximací, která kromě Pauliho principu zanedbává všechny ostatní korelace mezi
částicemi. Zde si aplikacemi na jednoduché systémy ilustrujeme přesnost a slabé stránky tohoto přiblížení. Pro
základní stav heliového atomu zkonstruujeme mnohem kvalitnější aproximaci, která bere v úvahu korelace mezi
elektrony a pro kterou je i přesto výpočet totální energie proveditelný analytickou cestou .Pro aplikace podobných
korelovaných vlnových funkcí použijeme metody MC.
Course completion requirements -
Last update: Mgr. Jindřich Kolorenč, Ph.D. (07.06.2019)
Oral exam.
Last update: Mgr. Jindřich Kolorenč, Ph.D. (07.06.2019)
Ústní zkouška.
Literature -
Last update: Mgr. Jindřich Kolorenč, Ph.D. (29.04.2019)
A. Szabo, N. S. Ostlund, Modern quantum chemistry, Dover Publications, 1996.
G. F. Giuliani, G. Vignale, Quantum theory of the electron liquid, Cambridge University Press, 2005.
E. A. Hylleraas, Neue Berechnung der Energie des Heliums im Grundzustande, sowie des tiefsten Terms von Ortho-Helium, Z. Physik 54, 347–366 (1929); English translation of this paper is a part of the book H. Hettema, Quantum chemistry: Classic scientific papers, World Scientific, 2000.
P. Fulde, Correlated electrons in quantum matter, World Scientific, 2012.
B. L. Hammond, W. A. Lester, jr., P. J. Reynolds, Monte Carlo methods in ab initio quantum chemistry, World Scientific, 1994.
I. Kosztin, B. Faber, K. Schulten, Introduction to the diffusion Monte Carlo method, Am. J. Phys. 64, 633–644 (1996).
J. Kolorenč, L. Mitas, Applications of quantum Monte Carlo methods in condensed systems, Rep. Prog. Phys. 74, 026502 (2011).
Last update: Mgr. Jindřich Kolorenč, Ph.D. (29.04.2019)
A. Szabo, N. S. Ostlund, Modern quantum chemistry, Dover Publications, 1996.
G. F. Giuliani, G. Vignale, Quantum theory of the electron liquid, Cambridge University Press, 2005.
E. A. Hylleraas, Neue Berechnung der Energie des Heliums im Grundzustande, sowie des tiefsten Terms von Ortho-Helium, Z. Physik 54, 347–366 (1929); anglický překlad článku je součástí kniky H. Hettema, Quantum chemistry: Classic scientific papers, World Scientific, 2000.
P. Fulde, Correlated electrons in quantum matter, World Scientific, 2012.
B. L. Hammond, W. A. Lester, jr., P. J. Reynolds, Monte Carlo methods in ab initio quantum chemistry, World Scientific, 1994.
I. Kosztin, B. Faber, K. Schulten, Introduction to the diffusion Monte Carlo method, Am. J. Phys. 64, 633–644 (1996).
J. Kolorenč, L. Mitas, Applications of quantum Monte Carlo methods in condensed systems, Rep. Prog. Phys. 74, 026502 (2011).
Requirements to the exam -
Last update: Mgr. Jindřich Kolorenč, Ph.D. (07.06.2019)
Exam has only an oral part. Requirements correspond to the syllabus to the extent presented during lectures.
Last update: Mgr. Jindřich Kolorenč, Ph.D. (07.06.2019)
Zkouška je pouze ústní. Požadavky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl prezentován na přednášce.
Syllabus -
Last update: Mgr. Jindřich Kolorenč, Ph.D. (29.04.2019)
The aim of the course is to illustrate selected general principles on simple examples, both in tight-binding lattice models and in the direct space.
Hydrogen molecule as the simplest example of strong electron-electron correlations: Hubbard model with just two orbitals, shortcomings of the Hartree–Fock approximation illustrated by comparison with the exact solution (spin contamination, overestimated tendency toward magnetic states), relationship between the Hubbard model (charge and spin) and the Heisenberg model (spin only) – origin of magnetism in strong correlations among electrons.
Magnetic impurity in a metal: Anderson impurity model, approximate description of the ground state in the limit of strong Coulomb interaction using the Gunnarsson–Schönhammer method, similarity to the hydrogen molecule, response to the homogeneous magnetic field and the static susceptibility, Kondo effect.
Correlated metal: Hubbard model, Gutzwiller wave function and Gutzwiller approximation, suppression of the electron mobility due to electron-electron repulsion, metal–insulator transition.
Helium atom and helium-like ions: analytical properties of explicitly correlated wave functions in Coulomb systems, Jastrow correlation factor, Hylleraas variational method (or how to hold the hydrogen anion together with just a pen and paper), amount of correlations in orthohelium and parahelium.
Variational Monte Carlo: evaluation of quantum-mechanical expectation values by means of stochastic integration, Metropolis algorithm for generation of random numbers with complicated multivariate distributions, elementary properties of Markov chains that represent the basis of the Metropolis algorithm.
Diffusion Monte Carlo: projection of the exact ground state from an approximate wave function, Feynman–Kac formula, stochastic evaluation of the path integral, fermion sign problem, examples of applications.
Last update: Mgr. Jindřich Kolorenč, Ph.D. (29.04.2019)
Hlavním cílem přednášky je ilustrace vybraných obecných principů na co nejjednodušších příkladech, a to jak v těsnovazebních mřížových modelech tak v přímém prostoru.
Vodíková molekula jako nejjednodušší příklad silných korelací: Hubbardův model na dvou orbitalech, ilustrace nedostatků Hartreeho–Fockovy aproximace porovnáním s přesným řešením (spinová kontaminace, nadhodnocená tendence k magnetickému řešení), vztah mezi Hubbardovým modelem (náboj a spin) a Heisenbergovým modelem (pouze spin) – původ magnetismu v silných korelacích mezi elektrony.
Magnetická příměs v kovu: Andersonův příměsový model, přibližný popis základního stavu v limitě silné coulombovské interakce metodou Gunnarssona a Schönhammera, podobnost s vodíkovou molekulou, odezva na homogenní magnetické pole a statická susceptibilita, Kondův jev.
Korelovaný kov: Hubbardův model, Gutzwillerova vlnová funkce a Gutzwillerova aproximace, snížení mobility elektronů v důsledku jejich elektrostatického odpuzování, přechod kov–izolant.
Atom helia a heliupodobné ionty: analytické vlastnosti explicitně korelovaných vlnových funkcí v coulombovských systémech, Jastrowův korelační faktor, Hylleraasova variační metoda (aneb jak udržet pohromadě vodíkový anion jen s tužkou a papírem), míra korelací v orthoheliu a v paraheliu.
Variační Monte Carlo: vyčíslení kvantově-mechanických středních hodnot stochastickou integrací, Metropolisův algoritmus pro generování náhodných čísel s mnohorozměrným rozdělením pravděpodobnosti, základní vlastnosti Markovských řetezců, na kterých je Metropolisův algoritmus postaven.
Difuzní Monte Carlo: projekce exaktního základního stavu z přibližné vlnové funkce, Feynmanova–Kacova formule, stochastický výpočet dráhového integrálu, znaménkový problém, příklady aplikací.
