The course is devoted to fundamentals of numerical linear algebra, with the concetration on methods for solving
linear algebraic equations, including least squares, and on eigenvalue problems. The course emphasizes
formulation of questions, motivation and interconnections. Recommended for bachelor's program in General
Mathematics, specializations Mathematical Modelling and Numerical Analysis, and Stochastics.
Last update: G_M (16.05.2012)
Přehled základů metod pro maticové výpočty se zaměřením na metody řešení soustav lineárních algebraických
rovnic (včetně úlohy nejmenších čtverců) a problém vlastních čísel. Důraz je kladen na motivaci jednotlivých částí
výkladu, na formulaci otázek, analýzu a porovnání jednotlivých metod a algoritmů a na souvislosti s blízkými
oblastmi matematiky a informatiky. Doporučeno pro bakalářský obor Obecná matematika, zaměření Matematické
modelování a numerická analýza a Stochastika.
Literature -
Last update: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D. (07.04.2015)
Duintjer Tebbens, J., Hnětynková, I., Plešinger, M., Strakoš, Z., Tichý, P., Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody, Matfzypress, Praha 2012.
Watkins, D.S., Fundamentals of Matrix Computations (Second edition), J. Wiley & Sons, New York, 2002
Fiedler, M., Speciální matice a jejich užití. SNTL Praha, l980
Golub, G.H., Van Loan C.F., Matrix Computations (Third edition). J. Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996
Last update: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D. (07.04.2015)
Duintjer Tebbens, J., Hnětynková, I., Plešinger, M., Strakoš, Z., Tichý, P., Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody, Matfzypress, Praha 2012.
Watkins, D.S., Fundamentals of Matrix Computations (Second edition), J. Wiley & Sons, New York, 2002
Fiedler, M., Speciální matice a jejich užití. SNTL Praha, l980
Golub, G.H., Van Loan C.F., Matrix Computations (Third edition). J. Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996
Teaching methods -
Last update: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D. (06.10.2017)
Lectures in a lecture hall. Practicals in computer laboratory (Matlab enviroment).
Last update: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D. (06.10.2017)
Přednášky a cvičení v posluchárně. Cvičení v počítačové laboratoři (práce v prostředí Matlab).
Requirements to the exam - Czech
Last update: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D. (06.10.2017)
Zkouška odpovídá rozsahu výuky. Má písemnou a ústní část.
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D. (12.09.2017)
1. A brief overview of related topics from previous courses (the Schur decomposition, orthogonal transformations and the QR decomposition, the Gaussian elimination and the LU decomposition, the singular value decomposition).
2. Numerical evaluation and applications of the singular value decomposition (the rank, kernel and range of a matrix, low rank matrix approximations).
3. Solution of linear approximation problems (the least squares method, the total least squares method, idea of regularization methods).
4. Partial eigenvalue problems (the Arnoldi and the Lanczos method, connections with orthogonal polynomials and Jacobi matrices).
5. Krylov subspace methods. Comparison of short a long recurrences (loss of orthogonality, stability, prize), Faber-Manteuffel theorem.
6. The conjugate gradient (CG) method, MINRES method.
7. The generalized minimal residual method (GMRES), FOM method.
9. The biconjugate gradient method (BiCG). Overview of other Krylov subspace methods.
Last update: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D. (12.09.2017)
1. Stručné zopakování relevantních pojmů z předchozích kurzů (Schurův rozklad, ortogonální transformace a QR rozklad, Gaussova eliminace a LU rozklad, singulární rozklad).
2. Numerický výpočet a aplikace singulárního rozkladu (určení hodnosti, jádra a oboru hodnot matice, aproximace maticemi menší hodnosti).
3. Řešení lineárních aproximačních úloh (metoda nejmenších čtverců, úplných nejmenších čtverců, idea regularizačních metod).
4. Částečný problém vlastních čísel (Arnoldiho a Lanczosova metoda, souvislost s ortogonálními polynomy a Jacobiho maticemi).
5. Krylovovské metody. Srovnání krátkých a dlouhých rekurencí (ztráta ortogonality, stabilita, cena výpočtu), Faber-Manteuffelova věta.
6. Metoda konjugovaných gradientů (CG), metoda MINRES.
7. Zobecněná metoda minimálních reziduí (GMRES), metoda FOM.
8. Metoda bikonjugovanýych gradientů (BiCG). Přehled dalších Krylovovských metod.