Subjects

Your browser does not support JavaScript, or its support is disabled. Some features may not be available.

Introduction to Functional Analysis (O) - NMMA931

Title:	Úvod do funkcionální analýzy (O)
Guaranteed by:	Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
Faculty:	Faculty of Mathematics and Physics
Actual:	from 2016 to 2016
Semester:	winter
E-Credits:	8
Hours per week, examination:	winter s.:4/2, C+Ex [HT]
Capacity:	unlimited
Min. number of students:	unlimited
4EU+:	no
Virtual mobility / capacity:	no
State of the course:	taught
Language:	Czech
Teaching methods:	full-time
Teaching methods:	full-time
Is provided by:	NMMA331

Guarantor:	doc. RNDr. Petr Holický, CSc.
Class:	Informatika Mgr. - Diskrétní modely a algoritmy
Classification:	Mathematics > Functional Analysis
Incompatibility :	NMMA331, NRFA006, NRFA106
Interchangeability :	NMMA331, NRFA106
Is interchangeable with:	NRFA106

Opinion survey results Examination dates Schedule Noticeboard

Annotation -

Last update: G_M (16.05.2012)

An introductory course in functional analysis. Not equivalent to the course NMMA331.

Literature - Czech

Last update: G_M (27.04.2012)

Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)

M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)

J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)

J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)

J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)

L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)

K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)

I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)

P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)

W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)

W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)

J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)

A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)

Syllabus -

Last update: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (23.06.2021)

Normed linear spaces, Banach and Hilbert spaces, linear functionals and operators, Hahn-Banach theorem, uniform boundedness principle, open mapping theorem, duality and reflexive spaces, Riesz-Schauder theory of compact operators, Fredholm theorems, convolutions and basic properties of L_p, distributions and tempered distributions

Last update: doc. Mgr. Marek Cúth, Ph.D. (23.06.2021)

1. Úvod

Banachovy a Hilbertovy prostory, příklady, spojitost vektorových operací, konvexní a linární obal a jejich vlastnosti, ekvivalentní normy

2. Operace s Banachovými prostory

podprostor, součin, faktorprostor, komplexifikace, zúplnění prostoru, alegebraický a topologický součet a doplněk, kodimenze

3. Operátory a funkcionály

charakterizace spojitosti, ekvivalentní popis normy, prostor operátorů, izomorfizmus

4. Hilbertovy prostory

Cauchy-Schwarzova nerovnost, rovnoběžníkové pravidlo, promítání na konvexní množinu, ortogonální doplněk, sumace v Banachových prostorech, maximální a ortonormální systém,

jejich charakterizace (Besselova a Parsevalova věta), Rieszova-Fischerova věta, příklad L_2

5. Hahnova-Banachova věta

algebraická verze, důsledky (oddělování bodů, rozšiřování spojitého funkcionálu, oddělování podprostoru), doplněk prostoru konečné dimenze a kodimenze, geometrické oddělování (bez důkazu)

6. Dualita

kanonické vnoření, popis duálu Hilbertova prostoru, dualita pro c_0 a L_p, dualita pro C(K) a Radonovy míry, definice reflexivity a reflexivita Hilbertova prostoru

7. Úplnost v Banachových prostorech

princip stejnoměrné omezenosti a Banachova-Steinhausova věta, věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu

8. Duální operátory

duální a adjungovaný operátor, anihilátory, izomorfizmus a dualita

9. Kompaktní operátory

definice a základní vlastnosti, lemma o skoro kolmici a konečně dimenzionální prostory, Arzelova-Ascoliova věta, Schauderova věta, definice spektra, struktura spektra pro kompaktní operátory a Fredholmovy věty

10. Konvoluce a vlastnosti L_p

Luzinova věta, hustota spojitých funkcí v L_p, separabilita, definice konvoluce a základní vlastnosti, zhlazovací jádro a jeho užití při aproximaci, L_p odhady pro konvoluci, hustota D v L_p

11. Distribuce

definice D a konvergence v D, základní vlastnosti, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí),

Banachova-Steinhausova věta (bez důkazu)

12. Fourierova transformace funkcí

Definice Fourierovy transformace na L_1 a její základní vlastnosti, Schwarzův prostor S, základní vlastnosti Fourierovy transformace na S, Fourierova transformace na L_1 a věta o inverzi,

Fourierova transformace konvoluce a Plancherelova věta