Mandatory course for the master study branch Mathematical analysis. Recommended for the first year of master
studies. Devoted to advanced topics in theory of ordinary differential equations. Content: dynamical systems;
Poincaré-Bendixson theory; Carathéodory theory; optimal control, Pontryagin maximum principle; bifurcation;
stable, unstable and central manifolds.
Last update: T_KMA (02.05.2013)
Povinný předmět pro magisterský obor Matematická analýza. Doporučený pro první ročník magisterského studia.
Věnuje se pokročilým partiím teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Stručný obsah: dynamické systémy;
Poincaré-Bendixsonova teorie; Carathéodoryho teorie; optimální řízení, Pontrjaginův princip maxima; bifurkace;
stabilní, nestabilní a centrální variety.
Literature -
Last update: T_KMA (02.05.2013)
Kurzweil, Jaroslav Ordinary differential equations. Introduction to the theory of ordinary differential equations in the real domain. Translated from the Czech by Michal Basch. Studies in Applied Mechanics, 13. Elsevier Scientific Publishing Co., Amsterdam, 1986.
I.I. Vrabie: Differential equations: an introduction to basic concepts, results, and applications, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.
H. Amann: Ordinary differential equations, an introduction to nonlinear analysis, de Gruyter Studies in Mathematics 13,
Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1990.
J. Hale, H. Kocak: Dynamics and Bifurcations. Texts in Applied Mathematics 3, Springer, New York, 1991.
Last update: T_KMA (10.05.2013)
J. Kurzweil: Obycejné diferenciální rovnice, Státní nakladatelství technické literatury, Praha, 1978.
I.I. Vrabie: Differential equations: an introduction to basic concepts, results, and applications, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.
H. Amann: Ordinary differential equations, an introduction to nonlinear analysis, de Gruyter Studies in Mathematics 13, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1990.
J. Hale, H. Kocak: Dynamics and Bifurcations. Texts in Applied Mathematics 3, Springer, New York, 1991.
Syllabus -
Last update: T_KMA (16.09.2013)
1. Dynamical system. Orbit, stationary point, invariant set. Alpha- and omega-limit sets and their properties. La Salle invariance principle. Conjugate dynamical systems. Lemma on rectifications. Poincaré-Bendixson theory in the plane. Bendixson-Dulac criterion of non-existence of periodic solutions.
2. Carathéodory theory - notion of an absolutely continuous solution, local existence and uniqueness.
3. Optimal control theory.
4. Bifurcations. Basic types of bifurcations. Sufficient conditions for existence of bifurcations. Hopf bifurcation.
5. Stable, unstable and central manifolds. Invariance principle and its reformulations. Existence of the central manifold. Approximation of the central manifold. Reduced stability principle. Hartman-Grobman theorem.
Last update: T_KMA (16.09.2013)
1. Dynamický systém. Orbit, stacionární bod, invariantní množina. Alfa- a omega-limitní množina a její vlastnosti. La Salleho princip invariance. Konjugované dynamické systémy. Lemma o rektifikaci. Poincaré-Bendixsonova teorie v rovině. Bendixson-Dulacovo kritérium neexistence periodických řešení.
2. Carathéodoryho teorie - pojem absolutně spojitých řešení, jejich lokální existence a jednoznačnost.
3. Optimální řízení. Kalmanova matice, regulovatelnost a pozorovatelnost lineárních úloh. Lokální regulovatelnost nelineárních úloh. Stabilizovatelnost. Časově optimální regulace. Pontrjaginův princip maxima. Regulace typu "bang-gang". Obecná verze principu maxima.
4. Bifurkace. Základní typy bifurkací: sedlo-uzel, transkritická, vidličková. Postačující podmínky existence bifurkací. Hopfova bifurkace: věta o existenci a stabilitě (bez důkazu).
5. Stabilní, nestabilní a centrální variety. Princip invariance a jeho ekvivalentní vyjádření. Existence centrální variety. Aproximace centrální variety. Princip redukované stability. Hartman-Grobmanova věta (bez důkazu).
