Last update: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (08.12.2017)
1. Topological spaces: open and closed sets, limits of nets, filters, continuous mappings.
2. Basic constructions: Projective and inductive generation, subspace, sum, product, quotient. Embedding lemma
3. Axioms of separation and continuous functions: embedding into the product of intervals and complete regularity,
separation by continuous functions and normality, extension of continuous functions and normality.
4. Compact spaces: Stone-Weierstrass theorem, product of compact spaces, Cech-Stone compactification and extension of continuous mappings.
5. Completeness of topological spaces: topological completeness of metrizable spaces, Cech completeness.
6. Uniform spaces (informatively): topology of uniform spaces, uniformly continuous mappings, completeness, metrizability, example of topological groups.
Last update: T_KMA (01.10.2013)
1. Pojem topologického prostoru
Otevřené a uzavřené množiny; vnitřek a uzávěr; systémy okolí; báze topologie, báze okolí bodů; spočetná váha a spočetný charakter, separabilita; konvergence posloupností a netů (*filtrů) a Hausdorffovy prostory (*T_0-, T_1-prostory); spojitá zobrazení; příklady metrizovatelných a nemetrizovatelných prostorů.
2. Operace s topologickými prostory
Podprostor, suma, kvocient (faktorprostor), součin; projektivní a injektivní vytváření (slabé a silné topologie); zachovávání vlastností; spočetný součin metrizovatelných (úplně metrizovatelných, kompaktních metrizovatelných) prostorů, Hilbertova krychle.
3. Úplně regulární prostory - vnoření do součinu intervalů
Lemma o vnoření (diagonálním součinu); pojem úplné regularity a jeho zachovávání na podprostory a součiny; vnoření do Tichonovovy krychle (do součinu intervalů); vnoření separabilního metrizovatelného prostoru do Hilbertovy krychle (*metrizovatelnost T_3-prostorů se spočetnou bází).
4. Normální prostory - rozšiřování reálných funkcí
Pojem normálního prostoru a příklad metrizovatelných prostorů; *protipříklady na zachovávání na podprostor a součin; Urysohnovo lemma; Tietze-Urysohnova věta o rozšiřování; úplná regularita T_4-prostorů.
5. Pojem kompaktního a Lindelofova prostoru
Pokrývací definice; charakterizace pomocí netů (*filtrů, ultrafiltrů, ultranetů); zachovávání při spojitém zobrazení; o dědičnosti na podprostory; spočetná a sekvenciální kompaktnost; příklad metrizovatelných prostorů; nabývání extrému a omezenost reálné funkce; normalita Lindelofových prostorů; *součin Lindelofových prostorů, který není Lindelofův.
6. Prostory spojitých funkcí na kompaktu
Prostor C(K); pojmy algebry a svazu spojitých funkcí; Stone-Weierstrassova věta; důsledky.
7. Tichonovova věta a Čech-Stoneova kompaktifikace, rozšiřování zobrazení
Důkaz věty o kompaktnosti součinu; kompaktnost Tichonovovy krychle; pojem kompaktifikace; Čech-Stoneova kompaktifikace; rozšiřování spojitých zobrazení, *ultrafiltry a beta-obal N.
8. Čechovská úplnost a Baireova věta
Topologická úplnost metrizovatelných prostorů; zúplnění metrizovatelného prostoru; čechovská úplnost; příklady lokálně kompaktních a úplně metrizovatelných prostorů; Baireova věta, *uniformní prostor a jeho úplnost.
9. Topologické grupy
Pojem topologické grupy; uniformita na ní; úplná regularita.
