The second part of a four-semester course in mathematical analysis for bachelor's programs General Mathematics
and Information Security.
Last update: G_M (16.05.2012)
Druhá část čtyřsemestrálního kursu matematické analýzy pro bakalářské obory Obecná matematika a MMIB.
Literature -
Last update: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (16.02.2019)
BASIC LITERATURE
V. Jarník: Diferenciální počet I, Academia 1984
V. Jarník: Diferenciální počet II, Academia 1984
B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment 2003
J. Milota: Matematická analýza I, 1. a 2. část (skriptum), MFF UK 1978
L. Zajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník, Matfyzpress 2006
COMPLEMENTARY READING
J. Čerych a kol.: Příklady z matematické analýzy V (skriptum), MFF UK 1983
P. Holický, O. Kalenda: Metody řešení vybraných úloh z matematické analýzy pro 2.-4. semestr, Matfyzpress 2006
J. Lukeš a kol.: Problémy z matematické analýzy (skriptum), MFF UK 1982
I. Netuka, J. Veselý: Příklady z matematické analýzy III (skriptum), MFF UK 1977
W. Rudin: Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill 1976
Last update: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (16.02.2019)
ZÁKLADNÍ LITERATURA
V. Jarník: Diferenciální počet I, Academia 1984
V. Jarník: Diferenciální počet II, Academia 1984
B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment 2003
J. Milota: Matematická analýza I, 1. a 2. část (skriptum), MFF UK 1978
L. Zajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník, Matfyzpress 2006
DOPLŇKOVÁ LITERATURA
J. Čerych a kol.: Příklady z matematické analýzy V (skriptum), MFF UK 1983
P. Holický, O. Kalenda: Metody řešení vybraných úloh z matematické analýzy pro 2.-4. semestr, Matfyzpress 2006
J. Lukeš a kol.: Problémy z matematické analýzy (skriptum), MFF UK 1982
I. Netuka, J. Veselý: Příklady z matematické analýzy III (skriptum), MFF UK 1977
W. Rudin: Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill 1976
Syllabus -
Last update: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (16.02.2019)
1. Basic notions
a) Sets, relations, mappings
b) Axiomatics of real numbers, infimum and supremum
2. Limits of sequences
a) Limits and arithmetic operations, limits and inequalities, extension of reals
b) Limits of monotone sequences, Cantor nested interval theorem, Bolzano-Cauchy condition
c) Borel covering theorem. Cluster points of a sequence, lim sup
3. Series of real numbers
a) Convergent series, absolutely convergent series
b) Cauchy's root and ratio tests, Leibniz's test.
4. Limits and continuity of functions
a) Theorems on limits, Heine's approach to limits of functions. Bolzano-Cauchy condition for the convergence of functions
b) Limits and continuity, limit of a composition of functions, continuity of the inverse function
c) Properties of continuous functions on a closed interval. Intermediate value property, extrems, uniform continuity
5. Elementary transcendental functions
a) Polynomials, rational functions, n-th root
b) Exponential function, logarithm, power function
c) Trigonometric and hyperbolic functions, cyclometric functions
6. Derivative of function
a) Definition, derivative as a function, applications
b) Derivatives and arithmetic operations, derivative of composed and inverse function (chain rule)
c) Higher derivatives, Leibniz's formula
7. Properties of functions
a) Theorems of Rolle, Lagrange and Cauchy (mean value theorems)
b) Relation between derivative and monotonicity (convexity).
c) Extreme values, points of inflection, asymptots
Last update: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc. (16.02.2019)
1. Taylorův polynom
(a) Základní vlastnosti (Taylorův polynom, Peanův, Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku). Symbol "o", event. "O" a další.
(b) Taylorovy polynomy elementárních funkcí
2. Mocninné řady
(a) Mocninné řady (Poloměr konvergence, derivování člen po členu, Taylorovy řady elem. funkcí)
3. Primitivní funkce
(a) Základní vlastnosti (aritmetika, věty o substituci, Darbouxova vlastnost derivace, integrace per partes)
(b) Integrace racionálních funkcí
(c) Některé speciální substituce
4. Určitý integrál I
(a) Riemannův integrál (definice, základní vlastnosti, Newton-Leibnizova formule)
(b) Newtonův integrál (metody výpočtu, substituce, per partes, věty o střední hodnotě)
(c) Konvergence Newtonova integrálu (srovnávací a A-D kritérium)
5. Metrické prostory I
(a) Základní vlastnosti (metrika, metrický prostor, otevřená, uzavřená množina, vnitřní bod, vnitřek, uzávěr, hranice, diametr, R^n a základní tři metriky)
(b) Konvergence a spojitost v metrických prostorech (konvergence posloupnosti, limita funkce, Heineho věta)
6. Funkce více proměnných I
(a) Parciální derivace a totální diferenciál funkce z R^n do R
(b) Věta o střední hodnotě, derivace ve směru, gradient