Fundamentals of Quasigroup Theory and Several Applications in Cryptography - NALG101

• Title: Základy teorie kvazigrup a několik jejich aplikací v kryptografii
• Guaranteed by: Department of Algebra (32-KA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2009 to 2017
• Semester: winter
• E-Credits: 3
• Hours per week, examination: winter s.:2/0, Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: not taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Teaching methods: full-time
• Classification: Mathematics > Algebra

Annotation

English

Last update: T_KA (10.05.2010)

The course will be in English. The main stress will be on the fundamentals of quasigroups and the applications to cryptography should not be considered as the central topic.

Czech

Last update: T_KA (10.05.2010)

Obsahem přednášky jsou základní poznatky z teorie kvazigrup. Bude zmíněno i několik aplikací v kryptografii (ty však netvoří jádro přednášky).

Literature

Last update: T_KA (23.05.2003)

V.D.Belousov, Osnovy teorii kvazigrupp i lup, Nauka, Moskva, 1967.

Syllabus

English

Last update: T_KA (23.05.2003)

1. Definition of a quasigroup and a loop as a groupoid and as a system with three binary operations. Connections with latin squares and group transversals.

2. Subquasigroups, nuclei and the centre. Local units and idempotents. Multiplication groups. Inner mapping groups and their generators. Normal subquasigroups and congruences.

3. Albert's theorem. G-loops. Autotopies and autostrophies.

4. Medial kvasigroups. Toyoda-Murdoch-Bruck theorem. T-quasigroups. Distributive quasigroups. CH-quasigroups, F-quasigroups. Some properties of linear quasigroups.

5. Constructions: product and semidirect product. Crossed product of a quasigroup and a system of quasigroups.

6. Inverse quasigrups and their possible applications to cryptography.

7. n-ary quasigroups, in particular medial quasigroups and those of type T. Belousov theorem on n-medial quasigroups.

8. Codes with one check symbol as n-ary quasigroups. Properties and examples. Orthogonality of . n-quasigroups. Check function on n-quasigroups. Secret sharing from the standpoint of n-quasigroups.

9. About 20 problems of Belousov.

Czech

Last update: T_KA (23.05.2003)

1. Definice binární kvazigrupy a lupy jako grupoidu a jako algebry s třemi binárními operacemi. Související pojmy latinského čtverce a transversály v grupě.

2. Podkvazigrupy; nukleus a centrum. Lokální jednotky a idempotenty. Multiplikační grupy kvazigrup. Grupy vnitřních permutací a jejich generátory. Kongruence, normální podkvazigrupy.

3. Albertova věta, G-lupy, autotopie a autostrofie.

4. Mediální kvazigrupy. Věta Toyodova-Murdochova-Bruckova. T-quasigroupy, distributivní kvazigrupy, CH-kvazigrupy, F-kvazigrupy. Některé vlastnosti lineárních kvazigrup.

5. Konstrukce: Součin a semidirektní součin. Křížový součin kvazigrupy a systému podkvazigrup.

6. Inverzní kvazigrupy a jejich možná aplikace v kryptografii.

7. n-ární kvazigrupy, a to zejména mediální a typu T. Belousova věta o n-mediálních kvazigrupách.

8. Kódy s jedním kontrolním symbolem jako n-ární kvazigrupy. Vlastnosti a příklady. Ortogonalita n-kvazigrup. Znaménková funkce na n-kvazigrupách. Systém sdílení tajemství z hlediska n-kvazigrup.

9. O 20 Bělousových problémech.