Differential topology studies the relationship between analytic concepts
(critical points of functions or functionals, solution spaces of systems of
PDEs, zeroes of vector fields, diffeomorphism groups, etc) and topological
concepts (Euler characteristics, CW structure, homotopy type, intersection
forms, etc). We will focus on basic aspects of Sard's Theorem and Morse theory
and their applications.
Last update: T_MUUK (02.03.2017)
Differenciální topologie zkoumá vztah mezi analytickými pojmy (kritické body funkcí a funkcionálů, prostory řešení
systémů PDR, nuly vektorových polí, grupy difeomorfismů apod.) a topologickými pojmy (Eulerova charakteristika,
CW struktura, homotopický typ, interseční formy apod.) Budeme se věnovat základním aspektům Sardovy věty a
Morseovy teorie a jejich aplikacím.
Last update: T_MUUK (02.03.2017)
Literature -
J. Milnor, A.H. Wallace: Differencial topology, introductory course.
Last update: Doubek Martin, Mgr., Ph.D. (25.04.2016)
J. Milnor, A.H. Wallace: Differencial topology, introductory course (překlad do ruštiny MIR, Moskva 1972)
Last update: Doubek Martin, Mgr., Ph.D. (25.04.2016)
Syllabus -
Smooth manifolds and maps. Regular and critical values, Theorems by Sard and Brown. Manifolds with boundary. Classification of 1-dimensional manifolds with boundary. Brouwer's fixed-point theorem in smooth case. The degree modulo 2 of a map. Smooth homotopies and isotopies, the proof of the unique existence of the degree modulo 2 in the non-oriented case. Oriented manifolds. Brouwer's integer degree of a map. Applications: Problem of existence of smooth nonzero vector fields on the spheres. Index of a vector field at an isolated zero. Poincare-Hopf theorem on the sum of indexes of a vector filed (with isolated zeros).
Last update: Doubek Martin, Mgr., Ph.D. (25.04.2016)
Hladké variety a zobrazení. Regulární a kritické hodnoty, Sardova a Brownova věta. Variety s okrajem. Klasifikace jednorozměrných variet s okrajem. Brouwerova věta o pevném bodě (hladký případ). Stupeň zobrazení modulo 2. Hladká homotopie a izotopie, důkaz existence stupně zobrazení. Orientované variety, Brouwerův celočíselný stupeň zobrazení. Aplikace. Problém existence hladkých nenulových vektorových polí na sférách. Index vektorového pole v izolovaném nulovém bodě. Poincarého-Hopfova věta o součtu indexů vektorového pole.
Last update: Doubek Martin, Mgr., Ph.D. (25.04.2016)
