Applications of methods of mathematic analysis (ordinary differential equations) for modelling biological, physical and (bio)chemical processes.
Last update: Rubešová Jana, RNDr., Ph.D. (06.01.2003)
Obsahem semináře jsou aplikace metod matematické analýzy (obyčejných diferenciálních rovnic) pro modelování biologických a fyzikálně-chemických procesů.
Last update: Rubešová Jana, RNDr., Ph.D. (05.10.2001)
Literature - Czech
Václav Kotvalt: Základy matematiky pro biologické obory. - Skriptum UK Praha, 1997.
Kristína Smítalová, Štefan Šujan: Dynamické modely biologických spoločenstiev. - Veda Bratislava, 1989.
Tomáš Havránek a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy. - Academia Praha, 1981.
James D. Murray: Mathematical Biology. - Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1993.
Daniel Kaplan, Leon Glass: Understanding Nonlinear Dynamics. - Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1995.
Huseyin Kocak: Differential and Difference Equations through Computer Experiments. - Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1986.
James D. Murray: Mathematical Biology. - Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1993.
Last update: Rubešová Jana, RNDr., Ph.D. (06.01.2003)
Requirements to the exam - Czech
zkouška ústní z probrané látky
Last update: Kotvalt Václav, RNDr., CSc. (17.04.2012)
Syllabus -
1. Ordinary differential equations of the first order: variables separable and linear equations, modelling of physical, (bio)chemical and biological processes - radioactive decay of elements, reaction kinetics (Michaelis-Menten model), population dynamics (logistic curve), etc.
2. Systems of differential equations: solving systems of linear equations (eigenvalues and eigenvectors, matrix in Jordan canonical form), steady state, periodic solution, stability, Poincaré-Bendixson theory for dymical systems in the plane.
3. Continuous models: interacting populations (predator-prey models), biochemical reactions (photosynthesis of Calvin cycle), etc.
4. Numerical methods: estimation of equation parameters (regression), solving systems of ordinary differential equations (Euler's and Runge-Kutta methods).
Last update: Rubešová Jana, RNDr., Ph.D. (26.04.2002)
Předpokladem pro navštěvování semináře jsou základní znalosti lineární algebry (soustavy lineárních rovnic, matice a operace s nimi, determinanty atd.), diferenciálního a integrálního počtu (derivace a její význam, různé metody integrování apod.). Stručnému přehledu užívaného matematického aparátu je věnován úvodní seminář. (Rozsah 1 x 2 hodiny.)
Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu:
postup řešení rovnic s tzv. separovatelnými proměnnými a rovnic lineárních; jejich aplikace na některé fyzikální procesy (např. plnění komory plynem); popis procesů chemické či biochemické povahy (rovnice chemické kinetiky, radioaktivní rozpad, rovnice Michaelise-Mentenové apod.); populační lineární i nelineární modely (exponenciální růst, logistická křivka atd.); metody stanovení parametrů rovnic (regrese); vyšetřování rovnovážných stavů z hlediska jejich stability aj. (Rozsah cca 4 x 2 hodiny.)
Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic (zvláště dynamické systémy v rovině):
řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic (pomocí vlastních čísel matice a jejího převedení na Jordanův kanonický tvar); stanovení rovnovážných stavů systému a vyšetřování jejich stability (pomocí linearizované soustavy); u dynamických systémů v rovině kvalitativní popis řešení (uzavřené trajektorie odpovídající periodickému řešení, teorie Poincaréova-Bendixsonova apod.); popis sytémů biochemických reakcí, zejména modely fotosyntetického příjmu oxidu uhličitého (karboxylace a oxygenace Rubisca, model uzavřeného Calvinova cyklu); popis vícedruhových společenstev (model dravec-kořist aj.). (Rozsah cca 5 x 2 hodiny.)
Závěr semináře je věnován nejzákladnějším numerickým metodám řešení obyčejných diferenciálních rovnic (Eulerova, Rungova-Kuttova) a jejich praktické prezentaci pomocí vhodného programovacího jazyka či speciálního softwaru. (Rozsah cca 2 x 2 hodiny.)
Last update: Rubešová Jana, RNDr., Ph.D. (06.01.2003)
