Calculus II - OB2310N004

• Title: Matematická analýza II
• Guaranteed by: Katedra matematiky a didaktiky matematiky (41-KMDM)
• Faculty: Faculty of Education
• Actual: from 2022
• Semester: summer
• E-Credits: 4
• Examination process: summer s.:
• Hours per week, examination: summer s.:2/1, C+Ex [HT]
• Capacity: unknown / unknown (999)
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: not taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Is provided by: OPBM2M111A
• Note: course can be enrolled in outside the study plan; enabled for web enrollment; priority enrollment if the course is part of the study plan
• Guarantor: prof. RNDr. Ladislav Kvasz, DSc., Dr.; Mgr. Derek Pilous, Ph.D.
• Class: Matematika 1. cyklus - povinné
• Classification: Mathematics > Mathematics, Algebra, Differential Equations, Potential Theory, Didactics of Mathematics, Discrete Mathematics, Math. Econ. and Econometrics, External Subjects, Financial and Insurance Math., Functional Analysis, Geometry, General Subjects, , Real and Complex Analysis, Mathematics General, Mathematical Modeling in Physics, Numerical Analysis, Optimization, Probability and Statistics, Topology and Category
• Pre-requisite : OB2310006
• Interchangeability : OB2310004
• Is pre-requisite for: OB2310N005, OB2310N217, OB2310263, OB1310206
• Is interchangeable with: OKB2310N04

Annotation

English

The aim of the course is to introduce the students to the basic notions of the differential calculus (the notions of limit, continuity, derivative), to lead them to a deeper understanding of limit transition as a tool suitable to deal with real dynamical processes and to train them in practical calculations with limits and derivatives. Special attention will be given to the use of the notions and techniques of differential calculus in the study of elementary functions and in the physical applications.

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Czech

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy matematické analýzy (limita, spojitost, derivace), vést je k pochopení limitních přechodů jako prostředku k práci s potencionálním nekonečnem a naučit je praktickým výpočtům těchto matematických objektů a jejich využití při vyšetřování vlastností funkcí a v praktických aplikacích.

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Aim of the course

English

To acquaint students with basic notions of calculus, lead them to understanding the relations between them, and teach them how to use theoretical knowledge for solving concrete problems

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Czech

Seznámit studenty se základními pojmy diferenciálního počtu, vést je k pochopení základních vztahů mezi nimi a naučit je užívat teoretických poznatků k řešení konkrétních úloh.

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Literature

English

Ross, K.A.:Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Undergraduate texts in Mathematics, Springer Verlag New York-Heidelberg-Berlin 1980

Fischer, E.: Intermediate Real Analisis. 1983

Lang, Serge: Undergraduate Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag New York - Berlin - Heidelberg - Tokyo 1983

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Czech

§ Ross, K. A.:Elementary Analysis: The Tudory of Calculus. Undergraduate texts in Mathematics, Springer Verlag New York-Heidelberg-Berlin 1980

§ Fischer, E.: Intermediate Real Analisis. 1983

§ Jarník, V.: Diferenciální počet I, II. Academia, Praha 1984

§ Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele I. Matfyzpress, Praha 1997

§ Děmidovič, B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy. Fragment, Praha 2004

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Teaching methods

English

The course includes lectures and seminars.

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Czech

Přednáška a cvičení.

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Requirements to the exam

English

Seminar:

• regular attendance

• correct elaboration of homeworks

• passing the current tests

Exam:

• mastering of definitions, theorems and proofs, ability to illustrate them by examples and counterexamples

• mastering of methods of calculation of primitive functions and integrals and ability to apply them to solving of problems

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Czech

Zápočet:

• pravidelná účast na semináři

• správné a včasné vypracování domácích prací

• úspěšné vykonání průběžných kontrol

Zkouška:

• znalost definicí, vět a důkazů a schopnost ilustrovat je příklady a protipříklady

• schopnost řešit konkrétní úlohy využitím teoretických poznatků

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Syllabus

English

Main topics:

• The notion of the limit of a function (proper, improper, at a real point and at infinity), its calculation, "undetermined" expressions

• Continuity of a function at a point and on an interval, properties of continuous functions, the relation of the notions continuity and limit

• Derivative, its physical and geometrical interpretation, its calculation (especially for compound and inverse function), mean value theorems, l'Hospital rule.

The meaning of higher order derivatives for the behaviour of a function and the shape of its graph.

Last update: JANCARIK/PEDF.CUNI.CZ (07.06.2012)

Czech

Odvoďte řadu pro ln (2) a uveďte urychleně konvergující řadu pro stejné číslo.

Odvoďte řadu pro pi/4. Uveďte urychlenou řadu pro pi/4.

Odvoďte Newtonovu binomickou formuli. Uveďte řadu pro arcsin(x).

Uveďte Taylorovu formuli a odvoďte z ní řady pro sinus, kosinus, exponenciálu a ln(x).

Odvoďte součet řady převrácených druhých mocnin přirozených čísel.

Pomocí Newtonovy binomické formule vypočtěte druhou odmocninu ze 105 s přesností na 5 desetinných míst.

Odvoďte vztah pro sin(13α) pomocí Eulerovy formule.

Dokažte Taylorův vzorec pro rozvoj funkce do nekonečné řady.

Definujte pojem konvergence, divergence a oscilace nekonečné řady.

Vyslovte a dokažte srovnávací kritérium pro řady s nezápornými členy.

Vyslovte a dokažte Cauchyho limitné odmocninové kritérium konvergence.

Vyslovte a dokažte zobecněné srovnávací kritérium konvergence řady s nezápornými členy.

Vyslovte a dokažte dAlembertovo limitné podílové kritérium.

Ukažte, že řada n^-(1+ε) konverguje pro libovolně malé kladné ε a diverguje pro ε záporné.

Dokažte divergenci harmonické řady přímo a také srovnáním s integrálem.

Definujte pojem absolutní a neabsolutní konvergence nekonečné řady a pojem přerovnání řad.

Dokažte, že řada vzniklá přerovnáním absolutně konvergentní řady má stejný součet jako původní řada.

Ukažte, že přerovnáním možno dát neabsolutně konvergentní řadě libovolný součet.

Dokažte základní větu algebry.

Dokažte Bolzanovu větu, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývající v koncových bodech intervalu hodnoty různých znamínek, nabývá hodnotu 0.

Dokažte Weierstrassovu větu, že spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá svého maxima.

Definujte pojem Riemannova integrálu.

Dokažte, že k funkci spojité na uzavřeném intervalu existuje její Riemannův integrál.

Definujte Riemannovu funkci, nespojitou v racionálních bodech a spojitou v iracionálních bodech jednotkového intervalu. Ukažte, že tato funkce je Riemannovsky integrovatelná.

Ukažte, že každá integrovatelná funkce je omezená.

Ukažte, že Riemannův integrál jako funkce horní integrační meze je primitivní funkce k podintegrální funkci. Co z toho plyne o vztahu Riemannova a Newtonova integrálu?

Vyslovte a dokažte Lagrangeovu větu o střední hodnotě.

 Definujte pojem rovnoměrné spojitosti. Ukažte, že funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu také rovnoměrně spojitá.

Last update: KVASZ/PEDF.CUNI.CZ (17.05.2014)