Riemann geometry in terms of forms, Hodge theory, topological methods. Lie groups and algebras. Fibre bundles,
geometry of gauge fields, characteristic classes. Two-component spinors.
Last update: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (04.02.2021)
Riemannova geometrie v řeči diferenciálních forem, Hodgeova teorie, topologické metody. Lieovy grupy a
algebery. Fibrované prostory, geometrická formalace kalibračních polí, charakteristické třídy. SL(2,C) spinory.
Určeno zejména pro studenty teoretické fyziky. Předpokládají se základní znalosti z diferenciální geometrie v
rozsahu přednášky NTMF059 Geometrické metody teoretické fyziky I, na kterou tento předmět volně navazuje.
Last update: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (04.02.2021)
Course completion requirements -
Oral exam.
Last update: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)
Ústní zkouška.
Last update: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)
Literature -
C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
M. Fecko: Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2011.
T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo: Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and some Applications in Physics, Cambridge Univ. Press, 1995.
Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
Last update: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (28.01.2021)
C. von Westenholz: Differential Forms in Mathematical Physics, North-Holland, 1978.
M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov, IRIS, 2004.
T. Frankel: The Geometry of Physics - An Introduction, Cambridge Univ. Press, 1999.
M. Nakahara: Geometry, Topology and Physics, Taylor&Francis, 2003.
Ch. Nash, S. Sen: Topology and Geometry for Physicists, Dover Publ., 2011.
J. A. de Azcárraga, J. M. Izquierdo: Lie Groups, Lie Algebras, Cohomology and some Applications in Physics, Cambridge Univ. Press, 1995.
Ch. J. Isham: Moddern Differential Geometry For Physicists, World Scientific, 1989.
E. W. Mielke: Geometrodynamics of Gauge Fields, Springer, 2017.
R. Penrose a W. Rindler: Spinors and space-time, Cambridge Univ. Press, 1999.
P. O'Donnell: 2-Spinors in General Relativity, World Scientific, 2003.
C. W. Misner, K. S. Thorne a J. A. Wheeler: Gravitation, Freedman, 1973.
S. Kobayashi a K. Nomizu: Foundations of Differential Geometry I, Interscience Publishers, 1963.
M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish Press, 1970-1979.
Last update: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (28.01.2021)
Requirements to the exam -
The oral exam. Students are examined from material in the syllabus and covered in lectures.
Last update: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)
Zkouška je ústní, požadavky odpovídají sylabu, v detailech pak tomu, co bylo během semestru odpřednášeno.
Last update: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (21.04.2023)
Syllabus -
Hodge theory
Scalar product on forms, Hodge dual, coderivative, de Rham-Laplace and Beltrami-Laplace operators. Hodge decomposition, potential and copotential, harmonics, cohomology.
Topological methods
Cohomology a homology groups, homotopy, fundamental group, homotopy equivalence, homotopy operator, contraction, Poincare lemma.
Riemann geometry in terms of forms
Exterior calculus (overview). Maxwell theory. Othonormal frames, Cartan structure equations, Ricci coefficients. Bianchi identities. Calculation of the curvature, example - Vaidya metric.
Geometry of Lie groups and algebras
Lie groups, construction of Lie algebra, exponential mapping, Killing metric, structure constants. Bi-invariant metric, measure, covariant derivative. Adjoint representations. The action of Lie group on a manifold, flows and their generators. Representations on vector spaces.
Fibre bundles
Abstract fibre bundles. Vector bundles and their geometry, covariant derivative, vector potential and curvature. Objects on the gauge-algebra bundle.
Geometry of gauge fields
Inner degrees of freedom and their description in terms of vector bundles. Gauge symmetry. Gauge group and gauge algebra bundles. Gauge and Yang-Mills fields. The action and field equations. Electromagnetic and charged fields.
Characteristic classes
Invariant symmetric polynomials in curvature, Chern-Weil theorem, characteristic classes, Chern class and character, Pontrjagin class, Euler form, integral quantities.
Two-component spinors
Space of spinors, antisymmetric metric, soldering form. Relation between spinors and vectors. Geometric quantities and physical fields in terms of spinors. Electromagnetic field and curvature.
Last update: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (28.01.2021)
Hodgeova teorie
Skalární součin na prostoru forem, Hodgeho duál, koderivace, de Rhamův-Laplaceův a Beltrami-Laplaceův operátor, Hodgeova dekompozice, potenciál a kopotenciál, harmoniky a kohomologie.
Topologické metody
Kohomologické a homologické grupy, homotopie, fundamentální grupa, homotopická ekvivalence, homotopický operátor, kontrahovatelnost a Poincareho lema.
Lieovy grupy, konstrukce Lieovy algebry, exponenciální zobrazení, Killingova metrika a strukturní konstanty, levo- a pravo-invariantní metrika, míra, kovariantní derivace. Přidružené reprezentace. Akce grupy na varietách, spojité transformace a jejich generátory. Reprezentace na vektorových prostorech.
Fibrované prostory
Fibrované prostory, vektorové bundly a geometrie na nich, kovariantní derivace, vektorový potenciál a křivost, kalibrační symetrie, objekty na lokální Lieovy algebře.
Geometrická formulace kalibračních polí
Vnitřní stupně volnosti a jejich reprezentace pomocí vektorových bundlů. Kalibrační symetrie. Bundl kalibrační grupy a algebry, kalibrační a Yang-Millsovo pole. Akce a pohybové rovnice. Elektromagnetické a nabitá pole.
Charakteristické třídy
Invariantní symetrické polynomy v křivosti, Chernova-Weilova věta, charakteristické třídy, Chernovy třídy a charakteristiky, Pontrjaginovy třídy, Eulerova forma, integrální charakteristiky.
Dvoukomponentové spinory
Zavedení spinorů, antisymetrická metrika, soldering form – `odmocnina' z metriky,
vztah vektorů a spinorů, geometrické veličiny a fyzikální pole v řeči spinorů. Elektromagnetické pole a křivost.
Last update: Krtouš Pavel, prof. RNDr., Ph.D. (28.01.2021)