Selected Chapters on Mathematical Physics - NTMF025

• Title: Vybrané kapitoly z matematické fyziky
• Guaranteed by: Institute of Theoretical Physics (32-UTF)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2020
• Semester: summer
• E-Credits: 3
• Hours per week, examination: summer s.:2/0, Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech, English
• Teaching methods: full-time
• Additional information: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/NTMF025
• Guarantor: prof. RNDr. Pavel Exner, DrSc.
• Teacher(s): prof. RNDr. Pavel Exner, DrSc.
• Classification: Physics > Theoretical and Math. Physics
• Comes under: Doporučené přednášky 1/2

Annotation

English

Advanced parts of quantum theory: operators on Hilbert spaces; postulates of quantum mechanics, states and observables in quantum mechanics; global and local uncertainty relations; canonical commutation relations; time evolution, Schrödinger operators; point and contact interactions. For the 4th and 5th year of the TF and JSF studies and for doctoral students.

Last update: T_UTF (22.05.2001)

Czech

Pokročilejší partie kvantové teorie: operátory na Hilbertových prostorech; postuláty kvantové mechaniky, stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice; globální a lokální relace neurčitosti; kanonické komutační relace; časový vývoj, Schrödingerovy operátory; bodové a kontaktní interakce. Pro 4. a 5. roč. TF a JSF a doktorandy.

Last update: T_UTF (22.05.2001)

Course completion requirements

Ústní zkouška

Last update: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (11.06.2019)

Literature

J. Blank, P. Exner, M. Havlíček: Lineární operátory v kvantové fyzice, Karolinum, Praha 1993

Last update: Zakouřil Pavel, RNDr., Ph.D. (05.08.2002)

Requirements to the exam

Zkouška je ústní, požadavky odpovídají sylabu, v detailech pak tomu, co bylo během semestru odpřednášeno.

Last update: Houfek Karel, doc. RNDr., Ph.D. (11.06.2019)

Syllabus

English

States and observables in quantum mechanics.
A survey of properties of Hilbert spaces and operators on them. Spectral theorem and spectral types of self-adjoint operators, the theory of self-adjoint extensions. Basic postulates of quantum mechanics. Examples of simple quantum systems. Mixed states, superselection rules. Compatibility of observables. Algebraic formulation of the quantum theory.

Global and local uncertainty relations.
Heisenberg relations. Hilbert space of analytical functions. Coherent states. Local uncertainty relations.

Canonical commutation relations.
Nelson's example. Weyl relations: Stone - von Neumann theorem about the existence and uniqueness of their representation. Systems with an infinite number of degrees of freedom.

Time evolution.
The basic dynamical postulate. Time evolution pictures. Wave packet dispersion. Evolution of coherent states. Feynman "integrals". Time evolution of unstable systems. Friedrichs model.

Schroedinger operators.
Self-adjointness criteria. Discrete spectrum, its cardinality and structure. Essential spectrum, its stability. Systems with a boundary, quantum waveguides.

Point and contact interactions.
The one-dimensional case: definition of a point interaction, spectral and scattering properties. Kronig-Penney model. Point interactions in dimension two and three. Approximations by scaled potentials. Quantum mechanics on graphs.

Last update: T_UTF (13.05.2003)

Czech

Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice.
Přehled vlastností Hilbertových prostorů a operátorů na nich. Spektrální teorém a typy spekter samosdružených operátorů, teorie samosdružených rozšíření. Základní postuláty kvantové mechaniky. Příklady jednoduchých kvantových systémů. Smíšené stavy, superselekční pravidla. Kompatibilita pozorovatelných. Algebraická formulace kvantové teorie.

Globální a lokální relace neurčitosti.
Heisenbergovy relace. Hilbertův prostor analytických funkcí. Koherentní stavy. Lokální relace neurčitosti.

Kanonické komutační relace.
Nelsonův příklad. Weylovy relace: Stoneova - von Neumannova věta o existenci a jednoznačnosti reprezentace. Systémy s nekonečným počtem stupňů volnosti.

Časový vývoj.
Základní dynamický postulát. Pojetí časového vývoje. Disperze vlnových balíků. Vývoj koherentních stavů. Feynmanovy "integrály". Časový vývoj nestabilních systémů. Friedrichsův model.

Schrödingerovy operátory.
Kritéria samosdruženosti. Diskrétní spektrum, jeho mohutnost a struktura. Esenciální spektrum, jeho stabilita. Systémy s hranicí, kvantové vlnovody.

Bodové a kontaktní interakce.
Jednorozměrný případ: definice bodové interakce, spektrální a rozptylové vlastnosti. Kronigův-Penneyho model. Bodové interakce v dimenzi dva a tři. Aproximace škálovanými potenciály. Kvantová mechanika na grafech.

Last update: T_UTF (13.05.2003)