Last update: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (19.05.2005)
Basic course of linear functional analysis concerning Banach and Hilbert spaces, basic principles of linear functional analysis and fundamentals of spectral theory of compact operators.
Last update: T_KMA (20.05.2008)
Základní kurs funkcionální analýzy pro program matematika. Banachovy a
Hilbertovy prostory, základní principy lineární funkcionální analýzy,
základy spektrální teorie kompaktních operátorů.
Předpokládá se znalost Matematické analýzy prvního dvouletí a Teorie míry a integrálu.
Literature - Czech
Last update: T_KMA (27.05.2008)
Habala, Hájek, Zizler, Banach Spaces I, II (skripta, MATFYZpress 1997)
M. Katětov a J. Jelínek, Úvod do funkcionální analýzy (skripta, SPN Praha 1968)
J. Lukeš, Uvod do funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha, 2005)
J. Lukeš, Zápisky z funkcionální analýzy (skripta, Karolinum Praha 1998, 2002, 2003)
J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005)
L. Mišík, Funkcionálna analýza (Alfa Bratislava, 1989)
K. Najzar, Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1988)
I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972)
P. Quittner, Funkcionálna analýza v príkladoch (Veda, SAV Bratislava 1990)
W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru (Academia Praha 1977, 2003)
W. Rudin, Functional analysis (Mc Graw Hill 1973 - ruský překlad 1975)
J. Stará, Příklady z matematické analýzy IV: Funkcionální analýza (skripta, SPN Praha 1975)
A.E. Taylor, Úvod do funkcionální analýzy (Academia Praha 1973)
Syllabus -
Last update: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (19.05.2005)
Normed linear spaces, Banach and Hilbert spaces, linear functionals and operators, Hahn-Banach theorem, uniform boundedness principle, open mapping theorem, reflexive spaces, weak convergence, Riesz-Schauder theory of compact operators, Fredholm theorems
Last update: T_KMA (27.05.2008)
I. Základní pojmy
Banachovy a Hilbertovy prostory ,normované lineární prostory, příklady (konečně dimenzionální, spojité funkce na kompaktu, Radonovy míry, prostory posloupností, $L^p$-prostory), algebraické a topologické součty i doplňky, projekce, Hilbertův prostor, skalární součin, rovnoběžníkové pravidlo, Schwarzova nerovnost, ortogonální prvky, ortonormální systémy, Besselova nerovnost, ortonormální báze a jejich charakteristiky (úplnost, Parsevalova rovnost, Fourierův rozvoj), ortogonální projekce a její vlastnosti, ortogonální doplňky existence nejmenšího prvku pro uzavřené podprostory a jeho charakteristika, Rieszova věta o skoro kolmici, kompaktnost jednotkové koule, charakteristika prostorů konečné dimenze, lineární zobrazení a funkcionály, algebraická verze Hahn-Banachovy věty, spojitost a omezenost lineárního zobrazení, norma spojitého lineárního zobrazení, prostor spojitých lineárních zobrazení, jeho úplnost, duální prostor, izometrická a izomorfní zobrazení, Fréchet-Rieszova věta o spojitých lineárních funkcionálech na Hilbertově prostoru, popis duálů konkrétních prostorů ($L^p$-prostory, Hilberovy prostory, $\Cal C (K)$, prostory posloupností), druhý duál,analytická verze Hahn-Banachovy věty, speciální Hahn-Banachova věta o tečné nadrovině a oddělování bodů, kanonické vnoření $X$ do $X^{**}$ a jeho vlastnosti, reflexivní prostory, reflexivita Hilbertových a $L^p$-prostorů, adjungovaná zobrazení v Banachových a Hilbertových prostorech, slabá konvergence, úvod do problematiky (Bolzano-Weierstrassova věta, kompaktnost v nekonečné dimenzi), slabá konvergence v $X$, příklady, problém definice slabých konvergencí v $X^*$.
II. Základní věty funkcionální analýzy
Baireova věta o kategoriích, princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhausova věta, silná omezenost slabě konvergentních posloupností (Eberlein-Šmuljanova) charakteristika reflexivních prostorů, konvergence Fourierových řad (přehledně: problém konvergence pro spojité funkce, - sčítatelnost Fourierových řad, $L^2$-konvergence, Carlesonův výsledek, existence spojitých funkcí s divergentní Fourierovou řadou) , věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu, spojitost lineárního inverzního zobrazení
III. Spektrální teorie kompaktních operátorů
Operátory v Banachových prostorech, lineární rovnice v $\bold R ^n$, lineární zobrazení a matice, Fredholmovy a Volterrovy integrální rovnice, jádra, integrální operátory, vlastní vektory a vlastní hodnoty, invertibilní operátory versus prosté operátory, které jsou na, vyjádření inverze pomocí Neumannovy řady, otevřenost množiny invertibilních operátorů, pojem spektra omezeného lineárního operátoru, kompaktní operátory, kompaktní operátory a jejich vlastnosti, příklady (Fredholmovy a Volterrovy operátory), charakteristika kompaktních operátorů v Hilbertových prostorech, Schauderova věta o kompaktnosti adjungovaného operátoru, Riesz-Schauderova teorie, Fredholmova alternativa, struktura spektra kompaktního operátoru, pojem anihilátoru (kolmice) a jeho základní vlastnosti.
