Mathematics for Physicists I - NOFY161

• Title: Matematika pro fyziky I
• Guaranteed by: Laboratory of General Physics Education (32-KVOF)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2020 to 2020
• Semester: winter
• E-Credits: 8
• Hours per week, examination: winter s.:4/2, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Additional information: https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~malek/new/index.php?title=NOFY161_Matematika_pro_fyziky_1
• Guarantor: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc.
• Teacher(s): doc. RNDr. Marie Běhounková, Ph.D.; Mgr. Tomáš Los, Ph.D.; prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc.; doc. Mgr. Vít Průša, Ph.D.; Mgr. Tomáš Salač, Ph.D.; RNDr. Ondřej Šrámek, Ph.D.
• Class: Fyzika
• Classification: Physics > Mathematics for Physicists
• Incompatibility : NMAF061
• Interchangeability : NMAF061
• Is incompatible with: NMAF061
• Is interchangeable with: NMAF061

Annotation

English

Basic mathematics course for 2nd year students of physics. Prerequisities: Mathematical analysis I+II, NOFY151, NOFY152, and Linear algebra I+II, NOFY141, NOFY142.

Last update: Kudrnová Hana, Mgr. (30.06.2020)

Czech

Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematickou analýzu (I + II), kódy NOFY151, NOFY152 a Lineární algebru (I+II) , kódy NOFY141, NOFY142.

Last update: Kudrnová Hana, Mgr. (30.06.2020)

Aim of the course

English

Basic mathematics course for 2nd year students of physics. Prerequisities: Mathematical analysis I+II, Mathematics for physicists I and Linear algebra I+II.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Czech

Základní přednáška z matematiky pro 2. ročník fyziky navazující na Matematickou analýzu (I + II), kódy NMAF051,

NMAF052 a Lineární algebru (I+II) , kódy NMAF027, NMAF028.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Course completion requirements

Zápočet je třeba mít zapsán před zahájením zkoušky.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Literature

• Kopáček, J. a kol.: Matematika pro fyziky, díly III-V, skriptum MFF UK, Matfyzpress
• Záznamy přednášek

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Teaching methods

přednáška + cvičení

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Requirements to the exam

Zkouška bude písemná a bude mít 2 části, početní a teoretickou. Student musí úspěšně složit obě části zkoušky.

Požadavky u zkoušky odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, který byl probrán na přednášce a cvičení.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Syllabus

English

1. Sequences and series of functions

Pointwise and uniform convergence; criteria for uniform convergence of sequences and series of functions; interchanging of limits, derivative and integral of sequences and series of functions; power series; real analytic functions.

2. Lebesgue integral

Sigma-algebras, measures; construction of the Lebesgue measure; measurable functions; approximation of measurable fuunctions by simple functions; integral of simple non-negative functions; integral of general functions and its properties; limite passage through the integral; relations among Riemann, Newton and Lebesgue integral; integral dependent on parameters; Fubini's theorem, change of variables.

3. Line integral in general dimension

The notion of a curve, line integrals of 1st and 2nd kind. Potential and curl-free vector fields.

4. Surface integral in general dimension

The notion of a surface, orientation of a surface. Surface integrals of 1st and 2nd kind, Gramm determinant, Gauss-Ostrogradskij, Green and Stokes theorems. Integral representations of div and curl operators.

5. Integration of differential forms

Outer algebras on linear vector space, differential forms, differentiation, outer differential, integral from a differential form. General Stokes theorem.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)

Czech

1. Posloupnosti a řady funkcí
Bodová a stejnoměrná konvergence. Weierstrassovo kritérium, Abelovo, Dirichletovo a Leibnizovo kritérium.Limita a spojitost, záměna limit, záměna limity a součtu řady, záměna limity a derivace, sumy a derivace, neurčitého integrálu a limity (sumy), určitého integrálu a limity (sumy). Abelova věta o konvergenční kružnici u mocninných řad.

2. Vícerozměrný integrál
Elementy teorie míry, vnější míra, míra, měřitelné množiny a jejich vlastnosti, Lebesgueova míra a její vlastnosti, pojem "skoro všude". Měřitelné funkce a operace s nimi. Lebesgueův integrál a jeho základní vlastnosti. Fubiniho věta a věta o substituci, regulární substituce. Věty o limitních přechodech: Leviho, Lebesgueova, Fatouova, integrabilní majoranty. Integrály s parametrem, limita, spojitost a derivování podle parametru. Lebesgueovy prostory Lp

3. Křivkový integrál
Křivka, jednoduchá křivka, uzavřená křivka. Tečný a normálový vektor. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, souvislost obou integrálů, nezávislost na parametrizaci. Potenciál vektorového pole. Výpočet integrálu druhého druhu pomocí potenciálu. Nulová rotace a souvislost s existencí potenciálu.

4. Plošný integrál
2D plocha v dimenzi 3 a její normálový vektor. Plošný integrál 1. druhu a jeho interpretace. Orientovaná plocha, spojité pole jednotkových normál. Plošný integrál 2. druhu. Souvislost mezi integrálem 1. a 2. druhu. Grammův determinant a různá zadání plochy. Gauss-Ostrogradského věta, věta o divergenci, integrální reprezentace divergence, Greenovy formule. Stokesova věta, integrální interpretace rotace. Poznámky o plošném integrálu v dimenzi n.

5. Fourierovy řady
Fourierovy koeficienty a Fourierova trigonometrická řada. Riemann-Lebesgueovo lemma a jeho důsledky. Riemannova věta o lokalizaci. Dirichletovo integrální jádro. Fourierovy řady pro dostatečně hladké funkce. Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost pro L2 funkce. Derivování a integrování Fourierových řad člen po členu. Abstraktní Fourierovy řady: Hilbertův prostor, ortogonální systém, Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, separabilní Hilbertův prostor, ekvivalence separability a existence úplné ortonormální báze, abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, souvislost s úplností OG systému. Různé ortogonální systémy, aplikace: prostory s vahami, souvislost ortogonálních systémů s vlastními funkcemi diferenciálních operátorů. Ortogonální systémy polynomů: Legendreovy, Laguerrovy, Hermiteovy, Čebyševovy apod.

Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (21.09.2022)