|
|
|
||
|
This course gives, together with parallel
courses on analysis, a basic course of mathematics
for physicists. Emphasis is given also to
relationship of all these disciplines.
Keywords: selfadjoint operators,
quadratic forms, tensors.
Last update: Kudrnová Hana, Mgr. (20.05.2019)
|
|
||
|
Předmět je zakončen složením zápočtu a zkoušky. Složení zápočtu je podmínkou pro účast u zkoušky. Podmínky zkoušky jsou specifikovány v dokumentu Požadavky ke zkoušce. Zápočet je udělován za průběžnou a systematickou práci na cvičení a jeho povaha tedy vylučuje možnost opakování, s výjimkou zápočtového testu.
Pro získání zápočtu bude třeba splnit současně tři kritéria:
aktivní účast na cvičeních domácí úkoly zápočtové testy
Podrobné informace na webu kurzu https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~smid/pmwiki/pmwiki.php?n=Main.LAproFLS2122 Last update: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (15.02.2022)
|
|
||
|
D. Šmíd: Lineární algebra pro fyziky, elektronická skripta, dostupná na stránce kurzu
L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru učebnice, Karolinum 2002
K. Výborný, M.Zahradník: Používáme lineární algebru (sbírka řešených příkladů), Karolinum 2002 Last update: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (14.02.2020)
|
|
||
|
Zkouška se skládá ze dvou částí, orientačního a zkouškového testu. Podmínkou složení zkoušky je úspěšné složení obou částí.
Orientační test obsahuje 5 otázek rovnoměrně pokrývajících sylabus předmětu v rozsahu, v jakém byl odpřednesen. Cílem orientačního testu je ověřit znalost základních pojmů a tvrzení z přednášky a porozumění jim, přesné požadavky jsou specifikovány na webu kurzu. Test je úspěšně složen získáním alespoň 70% bodů z něj.
Cílem zkouškového testu je ověřit hloubku znalostí studenta, zejména co se týče porozumění vztahům mezi pojmy z přednášky, schopnosti řešit problémy a formulace důkazů tvrzení. Podle součtu bodového ohodnocení v obou testech bude stanovena známka.
Může následovat ústní dozkoušení, po níž může být známka upravena oběma směry. Last update: Šmíd Dalibor, Mgr., Ph.D. (09.03.2021)
|
|
||
|
1) Exponential of a matrix. Basic properties (similarity of matrices, eigenvectors, exponential of a sum). The relation Tr A = det exp A . Examples (Taylor polynomial, exponential of a commutator)
2) Elementary introduction to Lie algebras. Examples: gl, sl, o, u, su. Isomorphism of vector multiplication resp. commutation in o(3).
3) Nilpotent operators. Basic theorem on their structure and Jordan basis
4) Direct decomposition of a complex vector space according to its spectrum, Jordan theorem. Hamilton Cayley theorem. Exponential of a Jordan cell, applications to systems of linear differential equations with constant coefficients (and special choices of "external forces")
5) Positive and stochastic matrices, interpertation of their spectral radius, applications
6) Dual space, dual bases and operators
7) Duality and scalar product: Adjoint operator, normal operators. Adjoint differential operators and the method of per partes.
8) Spectral decomposition of a normal operator. Examples, Legendre and Hermite polynomials
9) Bilinear and quadratic forms, their diagonalization by a) change of cooordinates (method by "completing the squares") b) Jacobi Sylvester orthogonalization method c) diagonalization by spectral decomposition. Signature
10) Quadratic surfaces and conic sections, their classification (hyperboloids, elipsoids, paraboloids) and basic properties. Projective space.
11) Polar decomposition of an operator
12) Pseudoinverse of a matrix
13) Tensor product of linear spaces, definition, examples, "decomposable" tensors
14) Transformation rules for tensors, covariant and contravariant indices, summation convention
15) Tensor product of tensors, trace of a tensor. Tensors and scalar products, representation of covariant tensors by contravariant ones
16) Symmetric tensors, symmetrization of a (product of) tensor(s)
17) Antisymmetric tensors, antisymmetrization, exterior (Grassmann) algebra. The notion of a k-dimensional volume in n -dimensional vector space. Gramm matrix and the Gramm determinant (for general, non square matrix) Last update: Kudrnová Hana, Mgr. (20.05.2019)
|