Geometric algebra - NMTM268

• Title: Geometrická algebra
• Guaranteed by: Department of Mathematics Education (32-KDM)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2025
• Semester: summer
• E-Credits: 2
• Hours per week, examination: summer s.:0/2, colloquium [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D.
• Teacher(s): Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D.

Annotation

Volitelný seminář věnovaný geometrickému součinu, který poskytuje motivaci, propojení a nadhled různým součinům vektorů (vektorový, skalární, smíšený, vnější), determinantům, komplexním číslům a kvaternionům, pojmům dobře známým z lineární algebry (lineární formy, duální báze, ortogonální doplněk, ...), Cramerovu pravidlu (odvození na jediný řádek); geometrický součin navíc umožňuje elegantní popisy různých geometrických objektů a operací s nimi (přímky, roviny, nadroviny, souměrnosti, rotace, ...).

Last update: Moravcová Vlasta, RNDr., Ph.D. (14.05.2025)

Aim of the course

Poskytnout jednotící pohled na různé součiny vektorů (vektorový, skalární, vnější, smíšený), komplexní čísla (znalost v rozsahu SŠ se očekává), kvaterniony (znalost se nepředpokládá), případně na lineární formy, rovnice přímky a roviny, ...

Last update: Halas Zdeněk, Mgr., DiS., Ph.D. (14.05.2025)

Course completion requirements

• aktivní účast

• povoleny jsou nejvýše 3 absence

Last update: Halas Zdeněk, Mgr., DiS., Ph.D. (14.05.2025)

Literature

• Macdonald, Alan: A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus. Adv. Appl. Clifford Algebras 27 (2017), 853-891.

https://www.faculty.luther.edu/~macdonal/GA&GC.pdf

• Doran, Chris; Lasenby, Anthony: Geometric algebra for Physicists. CUP, Cambridge, 2003.

• Hildenbrand, Dietmar: Foundations of Geometric Algebra Computing. Geometry and Computing 8. Springer, 2013.

• Vince, John: Geometric Algebra. An Algebraic System for Computer Games and Animation. Springer, 2009.

• Kanatani, Kenichi: Understanding Geometric Algebra. Hamilton, Grassmann, and Clifford for Computer Vision and Graphics. CRC Press, Taylor & Francis Group, 2015.

• Perwass, Christian: Geometric Algebra with Applications in Engineering. Springer, 2009.

• Dorst, Leo, Fontijne, Daniel, Mann, Stephen: Geometric Algebra for Computer Science. Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007.

• Dorst, Leo: A Guided Tour to the Plane-Based Geometric Algebra PGA. 2020.

https://geometricalgebra.org/downloads/PGA4CS.pdf

• Josipović, Miroslav: Geometric Multiplication of Vectors. An Introduction to Geometric Algebra in Physics. Birkhäuser, 2020.

• Goldman, Ron: Rethinking Quaternions. Theory and Computation. Synthesis lectures on computer graphics and animation #13. Morgan & Claypool, Berkeley, 2010.

• Bayro-Corrochano, Eduardo; Scheuermann, Gerik (eds.): Geometric Algebra Computing in Engineering and Computer Science. Springer, 2010.

Last update: Halas Zdeněk, Mgr., DiS., Ph.D. (14.05.2025)

Syllabus

Známé součiny vektorů a motivace

• vektorový a smíšený součin - opakování, motivace

• vnější součin a determinant - opakování, motivace

• komplexní čísla a kvaterniony - opakování, motivace

Geometrická algebra

• geometrická algebra (GA) - zavedení

• geometrický součin vektorů, dělení vektorem

• souvislost se skalárním, vektorovým a vnějším součinem

Aplikace geometrického součinu

• Cramerovo pravidlo - odvození na jediném řádku

• vyjádření některých geometrických vztahů pomocí geometrického součinu

• pseudoskalár - základní vlastnosti

• dualita, reprezentace přímky, roviny

• projekce a ejekce, souměrnosti

• rotace kolem dané osy

Další modely

• projektivní geometrická algebra (PGA)

• konformní model (CGA)

Last update: Halas Zdeněk, Mgr., DiS., Ph.D. (14.05.2025)