Last update: RNDr. Jakub Staněk, Ph.D. (14.06.2019)
An introductory course in linear algebra (introduction to basic algebraic structures, vector spaces,
homomorphisms, homomorphisms and matrices, systems of linear equations).
Last update: RNDr. Jakub Staněk, Ph.D. (25.01.2018)
Předmět obsahuje úvodní partie lineární algebry (algebraický úvod, vektorové prostory, homomorfismy, maticová
reprezentace homomorfismů, soustavy lineárních rovnic). Teoretická látka podaná v přednáškách je v praktické
podobě upevňována ve cvičeních.
Course completion requirements -
Last update: RNDr. Martina Škorpilová, Ph.D. (14.09.2023)
Credit is a necessary and sufficient condition for taking the exam.
Credit exams practical knowledge and skills (numerical procedures, derivation, proving).
A prerequisite for obtaining credit is passing written test (one regular and two correction terms).
Another condition for granting the credit is participation in exercises (max. three absences; activity fulfilled by mastering specific tasks).
More information about credits is available at:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~stepanov/
More information is on the page
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~becvar/
Last update: RNDr. Martina Škorpilová, Ph.D. (14.09.2023)
Nutnou a postačující podmínkou pro přihlášení se ke zkoušce je získání zápočtu.
Zápočet prověřuje praktické znalosti a dovednosti (početní postupy, ale i odvozování a dokazování).
BĚŽNÁ SITUACE:
Nutnou podmínkou pro udělení zápočtu je úspěšné absolvování jednoho testu. Jeho termín bude oznámen alespoň týden dopředu.
Další podmínkou pro udělení zápočtu je aktivní účast na cvičeních (max. tři absence; aktivita plněna zvládnutím konkrétních úkolů).
Další případné informace ke cvičení jsou k dispozici na stránce:
Last update: RNDr. Martina Škorpilová, Ph.D. (05.10.2022)
R. A. Horn, Ch. R. Johnson: Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 2012.
S. Lang: Linear Algebra, Springer, New York, 2013.
I. Satake: Linear Algebra, Dekker, New York, 1975.
S. Axler: Linear Algebra Done Right, Springer, New York, 2015.
Last update: RNDr. Martina Škorpilová, Ph.D. (05.10.2022)
Povinná:
J. Bečvář: Lineární algebra, Matfyzpress, Praha, 2010.
Doporučená:
J. Bečvář: Vektorové prostory III, sbírka úloh, SPN, Praha, 1982.
R. A. Horn, Ch. R. Johnson: Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 2012.
S. Lang: Linear Algebra, Springer, New York, 2013.
I. Satake: Linear Algebra, Dekker, New York, 1975.
S. Axler: Linear Algebra Done Right, Springer, New York, 2015.
V. Dlab, J. Bečvář: Od aritmetiky k abstraktní algebře, Serifa, Praha, 2016.
Requirements to the exam -
Last update: RNDr. Martina Škorpilová, Ph.D. (14.09.2023)
The exam verifies theoretical knowledge (definitions, theorems), understanding mathematical derivation and proofs, formulation skills (using mathematical symbolism).
Credit is a necessary condition for taking the exam.
The structure of the exam (five questions):
1. definition and examples of defined term (2 points),
2. definitions and examples of defined term (3 points),
3. theorem (2 points),
4. simple proof of the given sentence (3 points) ,
5. more difficult proof of the sentence (5 points).
The exam is written (approximaly 60 minutes), it is necessary to obtain at least 9 points (out of maximum 15 points).
The grade is determined by the points obtained for examination: 9-11 (Good), 12-13 (Very Good), 14-15 (Excellent).
Last update: RNDr. Martina Škorpilová, Ph.D. (14.09.2023)
Zkouška prověřuje teoretické znalosti, tj. porozumění pojmům (definice), porozumění poznatkům (věty), porozumění matematickému odvozování a zdůvodňování (důkazy), formulační dovednosti (vyjadřování slovem a písmem s využitím matematické symboliky).
Nutnou a postačující podmínkou pro přihlášení se ke zkoušce je získání zápočtu.
Struktura zkoušky (pět otázek): 1. definice a příklady definovaného pojmu (2 body), 2. definice a příklady definovaného pojmu (3 body), 3. znění věty (2 body), 4. jednoduchý důkaz dané věty (3 body), 5. obtížnější důkaz dané věty (5 bodů).
Zkouška je písemná, je na ni dáno 60 minut, z celkového počtu 15 bodů je třeba získat alespoň 9 bodů.
Známka je dána počtem získaných bodů u zkoušky: 9 až 11 – dobře, 12 až 13 – velmi dobře, 14 až 15 – výborně.
Syllabus -
Last update: RNDr. Martina Škorpilová, Ph.D. (05.10.2022)
Introduction to basic algebraic structures. Fields, rings, examples.
Vector spaces. Linear combinations, linear span, linear independence, generating sets, finitely and infinitely generated fields, basis, coordinates (with respect to a basis), dimension, theorem on the dimension of the join and meet; examples.
Homomorphisms of vector spaces. Basic properties of homomorphisms, special types of homomorphisms, the theorem on the dimension of the kernel and the image; examples.
Homomorphisms and matrices. The matrix of a homomorphism, compositions of homomorphisms and product of matrices, transformation of coordinates of a vector, rank of a matrix, elementary transformations, methods for calculating the rank of matrix, transformations of matrices, inverse matrix; examples.
Systems of linear equations. Solvability, the space of solutions and its dimension, the theorem of Frobenius, Gauss elimination method; problems; examples.
Last update: RNDr. Martina Škorpilová, Ph.D. (05.10.2022)
Algebraický úvod. Pole, matice; příklady.
Vektorové prostory. Lineární kombinace, lineární obal, lineární nezávislost, množina generátorů, konečně a nekonečně generované prostory, báze, souřadnice, dimenze, věta o dimenzích spojení a průniku, lineární množiny; příklady.
Homomorfismy vektorových prostorů. Základní vlastnosti, speciální typy homomorfismů, věta o hodnosti a defektu; příklady.
Maticová reprezentace homomorfismů. Matice homomorfismu, skládání homomorfismů a násobení matic, matice přechodu, transformace souřadnic, hodnost matice, elementární transformační matice a elementární úpravy matic, převody matic na diagonální a odstupňovaný tvar, zjišťování hodnosti matice, výpočet inverzní matice, převody symetrických matic na diagonální tvar; příklady.
Soustavy lineárních rovnic. Řešitelnost, tvar množiny řešení, Gaussův eliminační algoritmus a jiné metody řešení; příklady.
