Last update: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Mandatory course for master study branches Mathematical analysis and Mathematical modelling in physics and
technics. Recommended for the first year of master studies. The course is devoted to advanced topics in functional
analysis - topological vector spaces, weak topologies, vector integration, spectral theory.
Last update: doc. RNDr. Pavel Pyrih, CSc. (12.05.2022)
Povinný předmět magisterských oborů Matematická analýza a Matematické modelování ve fyzice a technice.
Doporučeno pro první ročník magisterského studia. Obsahem jsou pokročilejší partie funkcionální analýzy -
topologické vektorové prostory, slabé topologie, vektorová integrace, spektrální teorie.
Literature -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.09.2021)
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991
Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997
Last update: prof. RNDr. Jiří Spurný, Ph.D., DSc. (24.09.2020)
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1991
Meise R. and Vogt D. : Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York, 1997
Syllabus -
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
Topological vector spaces, locally convex spaces, weak topologies, vector integration and Bochner spaces, Banach algebras, Gelfand transform, operators on Hilbert spaces, spectral decomposition and function calculus.
Last update: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc. (09.05.2022)
1. Topologické lineární prostory (definice a generování topologií, lineární a omezená zobrazení, konečně dimenzionální prostory, metrizovatelnost a omezenost)
2. Lokálně konvexní prostory (Minkowského funkcionál a jeho vlastnosti, pseudonormy a lokálně konvexní topologie, geometrické oddělování a důsledky)
3. Slabé topologie (definice topologie generované prostorem forem a dualita, slabé topologie, Mazurova věta, poláry, věta o bipoláře, Banach-Alaoglu, Goldstine, slabá kompaktnost koule v reflexivních prostorech, vybírání slabě konvergentní podposloupnosti)
6. Gelfandova reprezentace (ideály a maximální ideály, vlastnosti Gelfandovy transformace, Gelfandova transformace pro C*-algebry (Gelfand-Naimark), aplikace Gelfandovy transformace pro nekomutativní algebry (invariantnost spektra pro podalgebry)
7. Operátory na Hilbertově prostoru (definice - unitární, normální, samoadjungovaný, projekce a jejich charakterizace; základní vlastnosti normálních operátorů, Hilbert-Schmidtova věta)
8. Spektrální rozklad (spojitý kalkulus, měřitelný kalkulus, spektrální míra a integrál podle ní, spektrální rozklad normálního operátoru, nezáporné operátory, polární rozklad, kladná a záporná část, unitární jako exponenciela samoadjungovaného, aproximace kompaktního operátoru konečně dimenzionálními)
