Ordinary Differential Equations - NMMA336

• Title: Obyčejné diferenciální rovnice
• Guaranteed by: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2024
• Semester: summer
• E-Credits: 5
• Hours per week, examination: summer s.:2/2, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Additional information: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/MFF/ODR.html
• Guarantor: doc. RNDr. Tomáš Bárta, Ph.D.
• Teacher(s): doc. RNDr. Tomáš Bárta, Ph.D.; Oleksandr Minakov, Ph.D.
• Class: M Bc. OM; M Bc. OM > Zaměření MA; M Bc. OM > Zaměření NUMMOD; M Bc. OM > Povinně volitelné
• Classification: Mathematics > Differential Equations, Potential Theory
• Incompatibility : NDIR012, NDIR020, NMMA333
• Interchangeability : NDIR012, NDIR020, NMMA333
• Is incompatible with: NMMA333
• Is pre-requisite for: NMNM351, NMMA351
• Is interchangeable with: NMMA333

Annotation

English

A course for bachelor's program in General Mathematics. Recommended for specializations Mathematical Analysis and Mathematical Modelling and Numerical Analysis.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Czech

Přednáška pro bakalářský obor Obecná matematika. Doporučeno pro zaměření Matematická analýza a Matematické modelování a numerická analýza

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Aim of the course

English

Basic lectures on ordinary differential equations. Basic knowledge of linear algebra, mathematical analysis and integration theory is required.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Czech

Úvodní přednáška z obyčejných diferenciálních rovnic navazující na přednášky z matematické analýzy a teorie míry a integrálu.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Course completion requirements

English

The credit for exercises is awarded either for activity at the exercises or for solving a given set of problems (each student can choose).

The credit from exercises is required to participate at the exam.

The exam consists of a written computational part (test) and oral theoretical part.

Students failing in the test are not allowed to continue with the oral part. Students failing in the oral part must go through both parts (written and oral) in their next attempt.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Czech

Zápočet se získává za aktivní účast na cvičeních nebo za vyřešení zadané sady úloh (každý student si může zvolit).

Zápočet je nutnou podmínkou připuštění ke zkoušce.

Zkouška sestává z písemné počítací části a ústní teoretické části.

Studenti, kteří jsou neúspěšní v písemné části, nejsou připuštěni k ústní části. Studenti, kteří neuspějí v ústní části, musí opakovat celou zkoušku, tj. písemnou i ústní část.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Literature

English

M. Braun: Differential equations and their applications. QA371.B795 1993

I.I. Vrabie: Differential equations: an introduction to basic concepts, results, and applications. QA371.V73 2004

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Czech

M. Braun: Differential equations and their applications. QA371.B795 1993

J. Kofroň: Obyčejné diferenciální rovnice v reálném oboru. (skripta)

I.I. Vrabie: Differential equations: an introduction to basic concepts, results, and applications. QA371.V73 2004

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Requirements to the exam

English

Ability to solve problem similar to those solved at the exercises, knowledge of the theory presented in the lecture, understanding. Details at http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/MFF/ODR.html (in czech).

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Czech

Schopnost řešit úlohy podobné těm řešeným na cvičení, znalost teorie v rozsahu prezentovaném na přednášce, porozumění. Detaily na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/MFF/ODR.html

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Syllabus

English

1.

Peano Theorem on local existence of solutions, local and global uniqueness, sufficient conditions for local uniqueness. Maximal solution - existence, characterisation. Gronwall lemma. Continuous and differentiable dependence of solutions on parameters or initial value.

2.

Linear equations: global existence and uniquness. Fundamental matrix, Wronskian, Liouville's formula. Variation of parameters in integral form. Linear systems with constant coefficients. Exponential of a matrix and its properties. Stable, unstable and central subspaces.

3.

Stability, asymptotic stability. Uniform stability. Stability of linear equations. Linearized stability and unstability.

4.

First integral, orbital derivative. Existence of first integrals. Application: method of characteristics.

5.

Higher order equations: reformulation as a first order system. Theorems on local existence and uniquness. Variation of parameters.

6.

Stability II: Lyapunov function, theorems on stability and asymptotic stability. Ljapunov equation.

7.

Floquet theory: logaritm of a matrix. Existence of periodic solutions and their stability.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Czech

1.
Peanova věta o lokální existenci řešení. Lokální a globální jednoznačnost řešení. Postačující podmínky lokální jednoznačnosti. Maximální řešení - existence, charakterizace. Věta o opuštění kompaktu. Gronwallovo lemma. Řešicí funkce - spojitost, diferencovatelnost.

2.
Lineární rovnice: globální existence a jednoznačnost řešení. Fundamentální matice. Wronskián, Liouvilleova formule. Variace konstant v integrálním tvaru. Lineární systémy s konstantními koeficienty. Exponenciála matice a její vlastnosti. Stabilní, nestabilní a centrální podprostory.

3.
Stabilita, asymptotická stabilita. Uniformní stabilita. Stabilita lineárních rovnic. Věty o linearizované stabilitě a nestabilitě.

4.
První integrál, orbitální derivace. Existence prvních integrálů. Aplikace: metoda charakteristik.

5.
Rovnice vyššího řádu: převedení na systém rovnic prvního řádu. Věty o lokální (globální pro lineární případ) existenci a jednoznačnosti řešení. Variace konstant.

6.
Stabilita podruhé: Ljapunovská funkce, Ljapunovovy věty o stabilitě a nestabilitě. Ljapunovovova rovnice.

7.
Floquetova teorie. Logaritmus matice. Existence periodických řešení a jejich stabilita.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Entry requirements

English

Differential and integral calculus, linear algebra (matrix calculus, eigenvalues and eigenvectors, etc.)

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)

Czech

Diferenciální a integrální počet, základy lineární algebry (práce s maticemi, vlastní čísla a vlastní vektory, ...).

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (29.05.2019)