Mathematical Analysis 2 - NMMA102

• Title: Matematická analýza 2
• Guaranteed by: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2025 to 2025
• Semester: summer
• E-Credits: 10
• Hours per week, examination: summer s.:4/4, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D.
• Teacher(s): doc. RNDr. Tomáš Bárta, Ph.D.; prof. RNDr. Miroslav Hušek, DrSc.; doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D.; RNDr. Jaromír Mielec; RNDr. Václav Vlasák, Ph.D.; doc. RNDr. Miroslav Zelený, Ph.D.
• Class: M Bc. MMIB; M Bc. MMIB > Povinné; M Bc. MMIB > 1. ročník; M Bc. MMIT; M Bc. MMIT > Povinné; M Bc. OM; M Bc. OM > Povinné; M Bc. OM > 1. ročník
• Classification: Mathematics > Real and Complex Analysis
• Co-requisite : NMMA101
• Incompatibility : NMAA002
• Interchangeability : NMAA002
• Is pre-requisite for: NMMA261, NMMA263
• Is interchangeable with: NMAA002
• In complex pre-requisite: NMAG204, NMAG211, NMAG212, NMFM204, NMFM205, NMMA201, NMMA202, NMMA203, NMMA204, NMMA205, NMMA301, NMNM201, NMSA336
• Is complex co-requisite for: NMSA211

Annotation

English

The second part of a four-semester course in mathematical analysis for bachelor's programs General Mathematics and Information Security.

Last update: G_M (16.05.2012)

Czech

Druhá část čtyřsemestrálního kursu matematické analýzy pro bakalářské obory Obecná matematika a MMIB.

Last update: G_M (16.05.2012)

Course completion requirements

English

Conditions for credits and examination scheme are available in Czech language at the instructor's website

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_2_2025-26/seminar.php

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_2_2025-26/zkousky.php

Last update: Zelený Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (13.02.2026)

Czech

Podmínky pro získání zápočtu a složení zkoušky jsou uvedeny zde:

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_2_2025-26/seminar.php

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_2_2025-26/zkousky.php

Last update: Zelený Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (13.02.2026)

Literature

English

Basic source:

lecture notes, collected examples and monograph in progress on the instructor's website.

Further reading:

V. Jarník: Diferenciální počet I, Academia 1984

V. Jarník: Diferenciální počet II, Academia 1984

B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment 2003

J. Milota: Matematická analýza I, 1. a 2. část (skriptum), MFF UK 1978

L. Zajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník, Matfyzpress 2006

J. Čerych a kol.: Příklady z matematické analýzy V (skriptum), MFF UK 1983

P. Holický, O. Kalenda: Metody řešení vybraných úloh z matematické analýzy pro 2.-4. semestr, Matfyzpress 2006

J. Lukeš a kol.: Problémy z matematické analýzy (skriptum), MFF UK 1982

I. Netuka, J. Veselý: Příklady z matematické analýzy III (skriptum), MFF UK 1977

W. Rudin: Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill 1976

Last update: Pick Luboš, prof. RNDr., CSc., DSc. (23.12.2024)

Czech

ZÁKLADNÍ LITERATURA

zápisky z přednášek, text k přednášce na stránce a ke cvičením a text rozpracovaných skript na stránce přednášejícího.

DOPLŇKOVÁ LITERATURA

V. Jarník: Diferenciální počet I, Academia 1984

V. Jarník: Diferenciální počet II, Academia 1984

B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment 2003

J. Milota: Matematická analýza I, 1. a 2. část (skriptum), MFF UK 1978

L. Zajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník, Matfyzpress 2006

J. Čerych a kol.: Příklady z matematické analýzy V (skriptum), MFF UK 1983

P. Holický, O. Kalenda: Metody řešení vybraných úloh z matematické analýzy pro 2.-4. semestr, Matfyzpress 2006

J. Lukeš a kol.: Problémy z matematické analýzy (skriptum), MFF UK 1982

I. Netuka, J. Veselý: Příklady z matematické analýzy III (skriptum), MFF UK 1977

W. Rudin: Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill 1976

Last update: Pick Luboš, prof. RNDr., CSc., DSc. (23.12.2024)

Teaching methods

Přednáška i cvičení probíhají presenčně. Kurzu je věnována webová stránka

https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_2_2025-26/index_MA_2_2025-26.php

Last update: Zelený Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (13.02.2026)

Syllabus

English

Series of real numbers

Elementary notions: convergence and divergence, a necessary condition, harmonic series.

Convergence tests: comparison, limiting comparison, Cauchy, d'Alembert, Leibniz.

Riemann's rearrangement theorem (without proof).

Cauchy product, Mertens theorem.

Complex series, complex exponential function.

Indefinite integral

Basic properties, arithmetic, change of variables, Darboux property of a derivative, integration by parts.

Integration of rational functions, useful substitutions.

Definite integral

Riemann integral: basic properties, Newton-Leibniz formula.

Newton integral: calculation, change of variables, integration by parts.

Convergence of the Newton integral: comparison test, mean value theorems.

Application of definite integral: curve length, volume and surface area of a rotational body - intuitively, integral test for convergence of series.

Metric spaces Ia

Metric space, open and closed sets, ambient Euclidean space as a metric space.

Convergence in metric spaces, continuous mappings, Heine theorem, composed map, arithmetic operations

Functions of several variables

Partial derivative and the derivative of a mapping from R^n to R^m, gradient, Jacobi matrix, mean value theorem, derivative of a composed mapping.

Last update: Zelený Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (20.04.2026)

Czech

Taylorův polynom

Základní vlastnosti (Taylorův polynom, Peanův, Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku).

Taylorovy polynomy elementárních funkcí.

Symbol malé o.

Číselné řady

Základní pojmy: konvergence a divergence, nutná podmínka, harmonická řada.

Kritéria konvergence: srovnávací a limitní srovnávací kritérium, Cauchyovo, d'Alembertovo, Leibnizovo.

Riemannova věta o přerovnání bez důkazu.

Cauchyův součin řad, Mertensova věta.

Řady s komplexními členy, komplexní exponenciála.

Primitivní funkce

Základní vlastnosti, aritmetika, věty o substituci, Darbouxova vlastnost derivace, integrace per partes.

Integrace racionálních funkcí, některé užitečné substituce.

Určitý integrál

Riemannův integrál: základní vlastnosti, Newtonova-Leibnizova formule.

Newtonův integrál: metody výpočtu, substituce, per partes.

Konvergence Newtonova integrálu: srovnávací kritérium, věty o střední hodnotě.

Aplikace určitého integrálu: délka křivky, objem a povrch rotačního tělesa - intuitivně, integrální kritérium konvergence číselných řad.

Metrické prostory Ia

Metrický prostor, otevřené a uzavřené množiny, R^n jako metrický prostor.

Konvergence v metrických prostorech, spojitá zobrazení, Heineova věta, složené zobrazení, aritmetické operace

Funkce více proměnných

Parciální derivace a derivace zobrazení z R^n do R^m, gradient, Jacobiho matice, věta o střední hodnotě, derivace složeného zobrazení.

Last update: Zelený Miroslav, doc. RNDr., Ph.D. (20.04.2026)