Students are supposed to be acquainted with basics of probability theory and stochastic analysis on the level of
Lecture NMFM 408 (or a similar lecture). In the present lecture the knowledge of basic tools of stochastic analysis
will be extended, taking into account the usual tools used in continuous modelling in finance mathematics - e.g.
the Ito formula, Girsanov Theorem and Representation Theorems for continuous martingales. Applications to
interest rate models, risk neutral measures and option pricing. Arbitrage. Fundamental Theorem of Asset Pricing.
Black-Scholes model. Hedging.
Last update: T_KPMS (13.05.2014)
Předpokladem je dřívější zvládnutí základů teorie pravděpodobnosti a stochastické analýzy na úrovni přednášky
NMFM 408 (nebo obdobné přednášky). Rozšíření znalostí základů stochastické analýzy s ohledem na
matematické nástroje užívané ve spojitých modelech finanční matematiky - zejména Itoova formule, pojem
stochastické diferenciální rovnice, Girsanovova věta a reprezentace spojitého martingalu . Aplikace na modely
úrokové intenzity, rizikově neutrální míry a oceňování opcí. Arbitráž, základní věta oceňování. Black-Scholesův
model. Zajišťování.
Aim of the course -
Last update: T_KPMS (11.05.2015)
The subject is aimed at advanced methods of stochastic analysis and fundamental models of finance mathematics where these methods are exploited (option pricing, hedging, etc.)
Last update: T_KPMS (11.05.2015)
Cílem předmětu je seznámit posluchače s pokročilými metodami stochastické analýzy a základními modely finanční matematiky, které je využívají (oceňování opcí, zajištění, apod.)
Course completion requirements -
Last update: doc. RNDr. Jan Večeř, Ph.D. (06.03.2018)
Class attendance during the semester, the last class being mandatory.
Last update: doc. RNDr. Jan Večeř, Ph.D. (06.03.2018)
Účast na přednáškách a cvičeních, mandatorně na poslední přednášce a cvičení v semestru.
Literature - Czech
Last update: T_KPMS (11.05.2015)
S.E.Shreve: Stochastic Calculus for Finance II, Continuous Time Models, Springer-Verlag, 2004
I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, 1988 (první vydání)
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer-Verlag, 2001
J. Seidler, Vybrané kapitoly ze stochastické analysy, Matfyzpress, 2011.
Teaching methods -
Last update: T_KPMS (22.04.2014)
Lecture+exercises.
Last update: T_KPMS (22.04.2014)
Přednáška + cvičení.
Requirements to the exam -
Last update: doc. RNDr. Jan Večeř, Ph.D. (06.03.2018)
A written final exam covering the topics listed in the syllabus.
Last update: doc. RNDr. Jan Večeř, Ph.D. (06.03.2018)
Zkouška je písemná, obsahem je materiál popsaný v syllabu.
Syllabus -
Last update: T_KPMS (11.05.2015)
1. Stochastic integration w.r.t. martingales and local martingales. Stochastic linear and bilinear equations, geometric Brownian motion. Stochastic differential equations.
2. Short rates models (Ho and Lee, Vasicek, Hull and White, CIR) , bond price.
3. Market model, portfolio value, self-financing portfolio. Risk-neutral measures, arbitrage and the 1st fundamental theorem of option pricing.
4. Girsanov theorem and risk-neutral measure in the BS model. European call option. Completeness of the market, 2nd fundamental theorem of option pricing.
5. Representation of continuous martingale by stochastic integral, hedging.
6. Feynman-Kac formula, BS equation, replication strategy for simple contingent claims. Asian and American options.
Last update: T_KPMS (11.05.2015)
1. Stochastická integrace vůči martingalu a lokálnímu martingalu. Stochastická lineární a bilineární rovnice, geometrický Brownův pohyb. Stochastická diferenciální rovnice.
2. Modely okamžité úrokové intenzity (Ho a Lee, Vašíčkův, Hull a White, CIR) a výpočet ceny bondu.
3. Model trhu, hodnota portfolia, samofinancující portfolio. Rizikově neutrální míra, arbitráž a 1. základní věta opčního oceňování.
4. Girsanovova věta a rizikově neutrálná míra v BS modelu. Evropská call opce. Úplnost trhu, 2. fundamentální věta opčního oceňování.
